- 空间几何体
- 共15406题
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据图形判断：
∵侧面AB1内有动点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等
∴侧面AB1内有动点P到直线AB与|PB1|相等，
∴根据抛物线的定义可判断：动点P所在的曲线为以B1为焦点，以直线AB为准线的抛物线．
可判断A1在抛物线上，
故选：C
给出下列命题：
①在正方体中任意选择四个不共面的顶点，它们可能是正四面体的四个顶点；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③若一个四棱柱中有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④一个棱锥可以有两个侧棱和底面垂直；
⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
其中正确命题的序号是______．
正确答案
①
解析
解：对于①，在正方体中任意选择四个不共面的顶点，它们可能是正四面体的四个顶点，
正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体A-CB1D1，∴①正确；
对于②，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，
如底面△ABC为等边三角形，且AB=VB=VC=BC=AC，
则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；∴②错误；
对于③，一个四棱柱中有两个侧面垂直于底面，该四棱柱不一定为直四棱柱，
必须是相邻的两个侧面才是直四棱柱，∴③错误；
对于④，一个棱锥如果有两条侧棱和底面垂直，则这两条侧棱互相平行，∴④错误；
对于⑤，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，如底面是菱形时，此时的四棱柱不是正方体，∴⑤错误．
综上，正确的命题是①．
故答案为：①．
正确答案
A1，B1，D
解析
解：取BB1的中点F，则A，D，E，F四点共面，D1，B在平面ADEF的两侧，故D1B与平面相交，满足题意；
取A1D1的中点M，则M，D，E，B1四点共面，D1，B在平面MDEB1的两侧，故D1B与平面相交，满足题意；
D显然满足．
动点P在直线BD1（除B，D1两点）上运动的过程中，平面DEP可能经过的该正方体的顶点是A1，B1，D．
故答案为：A1，B1，D．
称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”，若在四直角三棱锥SABC中，∠SAB=∠SAC=∠SBC=90°，则第四个面中的直角为______．
正确答案
∠ABC
解析
四直角三棱锥S-ABC中，因为，∠SAB=∠SAC=90°，
所以SA⊥AB，SA⊥AC，又AB∩AC=A，所以SA⊥平面ABC，
而BC⊂平面ABC，所以SA⊥BC．
又∠SBC=90°，所以SB⊥BC，又SA∩SB=S，所以BC⊥平面SAB．
而AB⊂平面SAB，所以AB⊥BC，所以∠ABC为直角．
故答案为∠ABC．
正确答案
解析
解：由题意画出正方体的图形，如图，
显然三角形ABC是正三角形，所以∠ABC=60°，
故选C．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=
正确答案
解：题中E、F分别在AA1、C1B1上，所以“展开”后的图形中必须有AA1、C1B1；故“展开”方式有以下四种：
（ⅰ）沿CC1将面ACC1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图1，求得：EF2=
（ⅱ）沿BB1将面ABB1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图2，求得：EF2=
（ⅲ）沿A1B1将面ABB1A1和面A1B1C1展开至同一平面，如图3，求得：EF2=
（ⅳ）沿A1C1将面ACC1A1和面A1C1B1展开至同一平面，如图4，求得：EF2=
比较可得（ⅳ）情况下，EF的值最小；
故EF的最小值为
解析
解：题中E、F分别在AA1、C1B1上，所以“展开”后的图形中必须有AA1、C1B1；故“展开”方式有以下四种：
（ⅰ）沿CC1将面ACC1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图1，求得：EF2=
（ⅱ）沿BB1将面ABB1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图2，求得：EF2=
（ⅲ）沿A1B1将面ABB1A1和面A1B1C1展开至同一平面，如图3，求得：EF2=
（ⅳ）沿A1C1将面ACC1A1和面A1C1B1展开至同一平面，如图4，求得：EF2=
比较可得（ⅳ）情况下，EF的值最小；
故EF的最小值为
下列五个命题中正确命题的个数是（ ）
①棱长相等的直四棱柱是正方体
②对角线相等的平行六面体是直平行六面体
③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体
④平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面为菱形，顶点B在面ACB1上射影为△ACB1的外心
⑤平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面为矩形，顶点B在面ACB1上射影为△ACB1的内心．
正确答案
解析
解：①棱长相等的正四棱柱是正方体，故①不正确，
②对角线相等的平行六面体是直平行六面体，②正确
③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体不一定是直平行六面体，故③不正确
平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面为菱形，顶点B在面ACB1上射影可以根据过B的三条棱都相等，得到射影到三角形各个顶点的距离相等．得到为△ACB1的外心，故④正确，⑤不正确，
综上可知②④两个正确，
故选A．
AD1O∥平面A1BC1
BD1O⊥平面AMC
C异面直线BC1与AC所成的角等于60°
D点B到平面AMC的距离为
正确答案
解析
解：如图，
由OD1⊄面A1BC1，BN⊂面A1BC1，可得D1O∥面A1BC1，A正确；
由三垂线定理的逆定理可得OD1⊥AC，
设正方体棱长为2，可求得OM2=3，
则
由正方体的面对角线相等得到△A1BC1为正三角形，即∠A1C1B=60°，
∴异面直线BC1与AC所成的角等于60°，C正确；
设点B到平面AMC的距离为d，正方体的棱长为2a，则
即
故选：D．
正确答案
解析
解：由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段（靠近AA′），当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段（靠近AA′），
当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AB），
当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AD），
当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段（靠近AB），
当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段（靠近AB），
同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；P在A′处，Q在C处，P在AA′上运动；
P、Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体．
故选：A．
正确答案
平行
解析
EF⊥AC，EF⊥A1D，A1D∥B1C，B1C⊥EF，AC∩B1C=C，
∴EF⊥面AB1C，而BD1⊥面AB1C，即BD1∥EF．
法二：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，且设正方形的边长为1
所以就有D1（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）
所以 
所以 
所以BD1与A1D和AC都垂直
又∵EF是AC、A1D的公共垂线，
∴BD1∥EF．
故答案为：平行．
（1）求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积；
（2）直线AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值．
正确答案
解：（1）
（2）令E为A1C1中点，连B1E，则B1E⊥面ACC1A1．
再连AE，得∠B1AE为AB1与面ACC1A所成角．（6分）
在Rt△AB1E中，
故直线AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值
解析
解：（1）
（2）令E为A1C1中点，连B1E，则B1E⊥面ACC1A1．
再连AE，得∠B1AE为AB1与面ACC1A所成角．（6分）
在Rt△AB1E中，
故直线AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=
正确答案
1
解析
由于AB=1，BC=2，AA1=3，再结合棱柱的性质，可得BM=
∴AM=
cos∠AMC1=
=
∴sin∠AMC1=
∴△AMC1的面积
故答案为1．
①BM与ED垂直； ②DM与BN垂直．
③CN与BM成60°角；④CN与BE是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是______．
正确答案
①②③
解析
解：由已知中正方体的平面展开图，
我们可以得到正方体的直观图如下图所示：
由正方体的几何特征可得：
①BM与ED垂直，正确；
②DM与BN垂直，正确；
③CN与BM成60°角，正确；
④CN与BE平行，故CN与BE是异面直线，错误；
故答案为：①②③
（2015秋•黑龙江期末）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若
Ax=1，y=1
Bx=1，y=
Cx=
Dx=
正确答案
解析
+
故选C．
在正方体上任意选择4个顶点，作为如下五种几何形体的4个顶点：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．能使这些几何形体正确的所有序号是______．
正确答案
①③④⑤
解析
由顶点A1，B，C，D1确定的四边形是矩形；
由顶点A，B，D，A1确定的四面体有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形；
由顶点D，A1，B，C1确定的四面体每个面都是等边三角形；
由顶点A1，A，B，C确定的四面体每个面都是直角三角形．
综上所述，正确的所有序号是①③④⑤．
故答案为：①③④⑤
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