- 空间几何体
- 共15406题
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是AB，BC，B1C1的中点，则下列说法正确的是______ （写出所有正确命题的编号）．
①P在直线EF上运动时，GP始终与平面AA1C1C平行；
②点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；
③点M是平面A1B1C1D1上到点！？和．距离相等的点，则点M的轨迹是一条直线；
④以正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA1异面的有10条；
⑤点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点E的距离的平方差为3，则点P的轨迹为拋物线．
正确答案
①②③⑤
解析
解：①P在直线EF上运动时，EF∥AC，GF∥C1C，可知面GEF∥平面AA1C1C，GP⊂面GEF，所以①成立；
②Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；如图（2）三角形AD1Q面积不变，C到平面距离不变，体积为定值，故②正确；
③M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和 C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段，线段A1D1满足题意，故正确．
④以正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA1异面的有BC、BC1、B1C、B1C1、C1D1、B1D1、CD、CD1、C1D、BD1、B1D、BD共12条，故不正确；
⑤点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点E的距离的平方差为3，
则点P到点E的距离的平方，等于点P到直线A1D1的距离的平方减去3
点P到直线AD的距离的平方=点P到直线A1D1的距离平方减去4．
所以，点P到点E的距离的平方=点P到直线AD的距离的平方加上1，点P的轨迹是以E为焦点的抛物线的一部分，故正确．
故答案为：①②③⑤．
已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，
∴可抽象为三棱锥
则有2F-V=4
故选B
如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（ ）
正确答案
解析
解：设中截面的半径为r，则
r=
记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为S上，S下，母线长均为l
S上=π（5+r）l，S下=π（R+r）l
又∵S上：S下=1：2
∴（5+r）：（R+r）=1：2②
将①代入②整理得：
R=25
故选：D
已知底面半径为1的一个圆锥的展开图是一个圆心角等于120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设圆锥的母线长为l，则
∵底面半径为1的一个圆锥的展开图是一个圆心角等于120°的扇形，
∴
∴圆锥的高h=2
∵底面圆的面积为π×r2=π，
∴圆锥的体积为V=
故选：B．
若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上、下两部分侧面积的比为（ ）
A3：5
B9：25
C5：
D7：9
正确答案
解析
解：设上底半径为3R，下底半径为5R，母线长为2L
则中截面半径为4R，分成的两个圆台的母线长均为L
则S上=π（4R+3R）L，
S下=π（4R+5R）L，
故分圆台上、下两部分侧面积的比为7：9
故选D
在三棱锥S-ABC中，AB=AC，SB=SC．求证：SA⊥BC．
正确答案
证明：取BC中点O，连接OS，OA，
∵AB=AC，SB=SC．
∴OS⊥BC，OA⊥BC，
∵OS∩OA=O，
∴BC⊥平面OAC，
∵SA⊂平面OAC，
∴SA⊥BC
解析
证明：取BC中点O，连接OS，OA，
∵AB=AC，SB=SC．
∴OS⊥BC，OA⊥BC，
∵OS∩OA=O，
∴BC⊥平面OAC，
∵SA⊂平面OAC，
∴SA⊥BC
已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，0），C（2，1），记△ABC绕x轴旋转一周所得几何体的体积为V1，绕y轴
旋转一周所得几何体的体积为V2，则V1与V2的比值为______．
正确答案
1：5
解析
解：
其体积为V1=
绕y轴旋转一周所得几何体圆柱里挖去一个圆台
其体积为V2=4π-
∴V1与V2的比值为1：5
故答案为：1：5
正三棱锥P-ABC的高PO=4，斜高为
正确答案
解析
可知OD=
则AB=4
底面面积是12
中截面面积是
故答案为：3
△ABC的三边长分别为3、4、5，P为平面ABC外一点，它到其三边的距离都等于2，且P在平面ABC上的射影O位于△ABC的内部，则PO等于（ ）
A1
B
C
D
正确答案
解析
解：如图所示，PD、PE、PF分别表示点P到三条边的距离，由题意可得PD=PE=PF=2，
在RT△POD，RT△POE，RT△POF中，PO公用，由勾股定理可得OD=OE=OF，
∴射影O应为△ABC的内心．
设OD=r，在Rt△ABC中，根据面积可得
在RT△POD，
故选D．
一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高 H=R•ctgθ
圆锥的体积 V1=
半球的体积 V2=
∵V1=V2即：
∴ctgθ=2
∴cos2θ=
故选D．
圆台的体积为52cm3，上、下底面面积之比为1：9，则截该圆台的圆锥体积为______cm3．
正确答案
54
解析
设大、小圆锥的底面半径分别为r、R，高分别为h、H
∵圆台上、下底面的面积之比为1：9，
∴小圆锥与大圆锥的相似比为1：3，即半径之比
可得 
因此，截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比27：26，
又圆台的体积为52cm3，则截该圆台的圆锥体积为
故答案为：54．
高和底面直径相等的圆柱的表面积和球O的表面积相等，则该圆柱与球O的体积之比为______．
正确答案
解析
解：∵高和底面直径相等的圆柱的表面积和球O的表面积相等，
∴圆柱的底面半径r，高2r，球的半径R，
∴圆柱的表面积=2πr2+2πr×2r=6πr2，
球O的表面积=4πR2，
∴6πr2=4πR2，
即
∴该圆柱与球O的体积之比为：
故答案为：
棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个（ ）
正确答案
解析
解：正三角形的每一个内角为60°，
根据顶点出发的几个内角的和应小于360°，
可得以六个这样的正三角形为侧面不能围成棱锥，
所以这样侧面的个数最多有5个．
故选：C．
（2015秋•北京校级期中）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
①若AC=BD，则四边形EFGH是______；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH是______．
正确答案
菱形
矩形
解析
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC=BD
∴EF=FG
∴四边形EFGH是菱形．
②由①知四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：菱形，矩形
过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的______点；
（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的______心；
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的______心．
正确答案
解：（1）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．
∵∠C=90°，
∴O在Rt△ABC的外心在斜边AB的中点．
（2）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．
（3）连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，
∵PA，PB，PC两两垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，
∴可以得到PA⊥面PBC
，而∵BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC
∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，
∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；
同理可以证明才HC⊥AB，又BG⊥AC．
∴O是△ABC的垂心．
解析
解：（1）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．
∵∠C=90°，
∴O在Rt△ABC的外心在斜边AB的中点．
（2）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．
（3）连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，
∵PA，PB，PC两两垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，
∴可以得到PA⊥面PBC
，而∵BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC
∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，
∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；
同理可以证明才HC⊥AB，又BG⊥AC．
∴O是△ABC的垂心．
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