空间几何体_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是（　　）

A

Bπ

Cπ

Dπ

正确答案

C

解析

解：设圆锥的底面半径为r，由题意得

∵轴截面是等边三角形

∴圆锥的母线长l=2r，

∵底面半径为r，可得圆锥的底面周长为2πr，

∴圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，

设圆锥侧面展开图的圆心角为α，则

lα=2πr，即2rα=2πr，解之得α=π

故选：C

1

题型：填空题

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填空题

下面命题正确的有 ______个．

①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱

②过圆锥侧面上一点有无数条母线

③三棱锥的每个面都可以作为底面

④圆锥的轴截面（过轴所作的截面）是等腰三角形．

正确答案

2

解析

解：①②错：①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线；③④正确，③三棱锥的性质；④是圆锥的性质．

故答案为：2

1

题型：填空题

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填空题

甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为______．

正确答案

a

解析

解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上，

如图，将此正四面体ABCD补成正方体BD′，

其中A′、B′、D′也在球面上，

设任意两个氢原子之间的距离为x，则2a=BD′．

BD′、AB（x）、AA′之间的关系是x=AB=AA′，2a=BD‘=AA′，

因此，∴x=a，即两个个氢原子的距离a．

故答案为：a

1

题型：单选题

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单选题

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD，A1D1的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN的中点P在二面角A-A1D1-B1内运动所形成的轨迹（曲面）的面积为（　　）

A4π

Bπ

C

D2π

正确答案

B

解析

解：连结FN、FP，依题意可知△MFN中，MF⊥NF，

∵Rt△MFN中，斜边MN=2，∴FP=MN=1，

由此可得点P在二面角A-A1D1-B1内运动所形成的轨迹，

是以点F为球心、1为半径的球的．

∴所求面积为S==π．

故选：B

1

题型：单选题

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单选题

某圆台的正视图是上底与腰长均为2，下底边为4的等腰梯形，则此圆台的表面积为（　　）

A10π

B11π

C12π

D13π

正确答案

B

解析

解：由题意可得，圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，腰长为2，

故圆台的表面积为π×12+π×22+π×（1+2）×2=11π，

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

如图，OABC是边长为1的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的体积为______．

正确答案

解析

解：几何体是图中阴影部分绕直线OC旋转一周所得旋转体，

是一个圆柱内挖去一个半球后剩余部分，球是圆柱的内接球，

所以圆柱的底面半径是：1，高为 1，

球的半径为1，

所以圆柱的体积：12π×1=π，

半球的体积：，

阴影部分绕直线OC旋转一周所得旋转体的体积为：，

故答案为．

1

题型：单选题

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单选题

在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是（　　）

A9

B10

C11

D12

正确答案

C

解析

解：此正三棱锥的侧面展开图如图：则△ADE的周长为AD+DE+EA′，由于两点之间线段最短，

∴当D、E处于如图位置时，截面△ADE的周长最小，即为AA′的长

设∠APB=α，过P作PO⊥AA′，则O为AA′中点，∠APO=，

在等腰三角形PAB中，sin==，cos=

∴cosα=1-2sin2=，sinα=2sin•cos=

∴sin=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×+×=

∴AA′=2AO=2AP×sin=16×=11

故选C

1

题型：填空题

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填空题

三棱锥的底面是两条直角边长分别为6cm和8cm的直角三角形，各侧面与底面所成的角都是60°，则棱锥的高为______．

正确答案

cm

解析

解：如图，设三棱锥的顶点P在底面上的射影为D，

∵各侧面与底面所成的角都是60°

∴点P在底面的投影是直角三角形的内心，

作DF⊥BC，则DF=2，∠PFD=60°

∴PD=

故答案为：cm．

1

题型：简答题

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简答题

已知圆锥的底面半径为r，母线长为l，其中2r＜l，由圆锥底面圆周上一点A出发，经过圆锥侧面绕行一周再回到出发点A，求经过的最短距离．

正确答案

解：图中圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长是2πr，根据弧长公式得到圆心角n=，

∴弧所对的弦长是2×lsin．

解析

解：图中圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长是2πr，根据弧长公式得到圆心角n=，

∴弧所对的弦长是2×lsin．

1

题型：单选题

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单选题

半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，

则圆锥的母线长为R，

设圆锥的底面半径为r，

则2πr=πR，

即r=，

∴圆锥的高h==，

∴圆锥的体积V==，

故选：C

1

题型：单选题

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单选题

一个圆锥的侧面展开图是中心角90°面积为S1的扇形，若圆锥的全面积是S2，则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：设扇形半径为R．

扇形的圆心角为90°，所以底面周长是，

圆锥的底面半径为：r，=2πr，r=，

所以S1=××R=；

圆锥的全面积为S2=+π×（）2=；

∴则==．

故选：A

1

题型：简答题

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简答题

如图，一直角梯形ABCD的上，上下底分别为CD=，AB=3，高AD=2，求以腰BC所在直线为轴旋转一周所形成的旋转体的表面积．

正确答案

解：由题设∠ABC=30°，BC=4，分别过A、D作AM⊥BC，DN⊥BC垂足为M，N，

则AM=，DN=，所求旋转体的表面积由三部分构成

①圆锥B-AM的侧面积S1=π•AM•AB=π．

②圆台MN的侧面积S2=π（AM+DN）•AD=4π．

③圆锥C-DN的侧面积S3=π•DN•CD=π．

∴S表=S1+S2+S3=（15+4）π．

解析

解：由题设∠ABC=30°，BC=4，分别过A、D作AM⊥BC，DN⊥BC垂足为M，N，

则AM=，DN=，所求旋转体的表面积由三部分构成

①圆锥B-AM的侧面积S1=π•AM•AB=π．

②圆台MN的侧面积S2=π（AM+DN）•AD=4π．

③圆锥C-DN的侧面积S3=π•DN•CD=π．

∴S表=S1+S2+S3=（15+4）π．

1

题型：单选题

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单选题

半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所得的几何体是（　　）

A球

B球面

C球或球面

D以上均不对

正确答案

A

解析

解：半圆绕着它直径所在的直线旋转一周，所得到的图形是球体，

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的母线长为______．

正确答案

2

解析

解：∵圆锥的底面积为π，

∴圆锥的底面半径为r，满足πr2=π，解得r=1

又∵圆锥的侧面积为2π，

∴设圆锥的母线长为l，可得πrl=2π，π•1•l=2π，解之得l=2

故答案为：2

1

题型：填空题

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填空题

等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将三角形绕BC边上中线旋转半周所成的几何体的体积为______．

正确答案

16π

解析

解：∵25-16=9，∴高为3，

根据题意可知几何体为底面半径为4，高为3，的圆柱，

∴=16π，

故答案为：16π

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