- 空间几何体
- 共15406题
已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，那么它的侧面积为______．
正确答案
15π
解析
解：依题意知母线长L为5，底面半径r=3，
则由圆锥的侧面积公式得：S=πrl=π×3×5=15π．
故答案为：15π．
正确答案
（8，10）
解析
解：如图所示，设
∴GH=5k，EH=4（1-k），∴周长=8+2k．
又∵0＜k＜1，∴周长的范围为（8，10）．
故答案为：（8，10）
一个圆台的上下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，圆台的表面积为______．
正确答案
1100π
解析
解：圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示；
∴r=10R=20母线与底面的夹角为60°，
∴l=2（R-r）=20
圆台的表面积为
S=S底+S侧
=（πr2+πR2）+（πr+πR）l
=（100π+400π）+（10π+20π）×20
=1100π．
故答案为：1100π．
若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由．
正确答案
解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，
如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，
截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，
所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，
其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点．
解析
解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，
如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，
截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，
所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，
其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点．
如果棱台的两底面积分别是S、S‘，中截面（过棱台高的中点且平行于底面的截面）的面积是S0求证：
正确答案
证明：设上底和下底的边长分别是a，b，
根据在侧面上三条边组成梯形的上底，下底和中位线，
得到梯形的中位线长度是
∵棱台的两底面与中截面是相似的，
∴三个面积之比等于边长之比的平方，
即s′=λa2，①
s=λb2，②
把三个式子两边开方，
a+b=
∴
解析
证明：设上底和下底的边长分别是a，b，
根据在侧面上三条边组成梯形的上底，下底和中位线，
得到梯形的中位线长度是
∵棱台的两底面与中截面是相似的，
∴三个面积之比等于边长之比的平方，
即s′=λa2，①
s=λb2，②
把三个式子两边开方，
a+b=
∴
用半径为R的半圆卷成一个无底圆锥，则这个无底圆锥的体积为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据题意，设无底圆锥的底面圆半径为r，则底面圆的周长等于侧面展开图的半圆弧长
∴2πr=πR，可得r=
根据圆锥的体积公式，可得V=
故选A
已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
正确答案
解：（1）如图所示，
∵PO⊥平面ABCD，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，
∴∠PAO=45°，∴PO=OA=
分别取AB，A1B1的中点E，E1，连接OE，O1E1．
则PE=
∴斜高EE1=PE-PE1=
∴棱台的侧面积S侧=
（2）∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，
∴
∴EE1=
∴OO1=
解析
解：（1）如图所示，
∵PO⊥平面ABCD，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，
∴∠PAO=45°，∴PO=OA=
分别取AB，A1B1的中点E，E1，连接OE，O1E1．
则PE=
∴斜高EE1=PE-PE1=
∴棱台的侧面积S侧=
（2）∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，
∴
∴EE1=
∴OO1=
（2015秋•陕西校级月考）一个正四棱台的斜高是12cm，侧棱长是13cm，侧面积是720cm2．求它的上、下底面的边长．
正确答案
解：设上底面边长为xcm，下底面边长为ycm，
由题意得
即
解得
所以上底面边长为10cm，下底面边长为20cm．
解析
解：设上底面边长为xcm，下底面边长为ycm，
由题意得
即
解得
所以上底面边长为10cm，下底面边长为20cm．
（1）证明ON⊥OM；（2）求圆锥的体积．
正确答案
（1）证明：半径OM与母线SA垂直，则SA⊥OM
∵SO⊥OM，SA⊥OM，SO∩SA=S
∴OM⊥平面SOA
而ON⊂平面SOA
∴ON⊥OM（6分）
（2）解：设OA中点C，连接NC、CM，则NC∥SO，
故∠MNC即为NM与高SO所成的角α，（8分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（10分）
又
从而圆锥的体积
解析
（1）证明：半径OM与母线SA垂直，则SA⊥OM
∵SO⊥OM，SA⊥OM，SO∩SA=S
∴OM⊥平面SOA
而ON⊂平面SOA
∴ON⊥OM（6分）
（2）解：设OA中点C，连接NC、CM，则NC∥SO，
故∠MNC即为NM与高SO所成的角α，（8分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（10分）
又
从而圆锥的体积
证明：如果圆锥的轴截面是直角三角形，则它的侧面积是底面积的
正确答案
证明：∵圆锥的轴截面是直角三角形，故是等腰直角三角形，设圆锥的底面半径为r，
圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴圆锥的母线长为
∴圆锥的侧面积为
∵圆锥的底面积为πr2．
∴圆锥的侧面积是底面积的
解析
证明：∵圆锥的轴截面是直角三角形，故是等腰直角三角形，设圆锥的底面半径为r，
圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴圆锥的母线长为
∴圆锥的侧面积为
∵圆锥的底面积为πr2．
∴圆锥的侧面积是底面积的
一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为______．
正确答案
解析
解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，
则圆锥的高H=R•cotθ
圆锥的体积，V1=
∵半球的体积V2=
∴
结合sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=
故答案为：
已知圆台的上下底面半径分别为r，R，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为______．
正确答案
解析
解：设圆台的母线长为l，根据题意可得圆台的上底面面积为S上=πr2，圆台的下底面面积为S下=πR2，
∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，
∴侧面积S侧=π（r2+R2）l=π（r+R）l，解之得l=
即圆台的母线长为
故答案为：
已知圆锥的表面积为9πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）
A
B3
C
D2
正确答案
解析
解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
则由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=9π
故r2=3
解得r=
故选：C．
圆锥轴截面的顶角是120°，过顶点的截面面积的最大值为8，则它的体积是（ ）
A4
B8π
C8
D24π
正确答案
解析
解：则由右图知，
过顶点的截面为等腰三角形，
设底边长为2x，与圆心的距离为d，
则d2+x2=r2，
截面等腰三角形底边上的高为
则截面等腰三角形的面积为
S=
=x
=x
=
（当且仅当x2=4h2-x2，即x=
则2h2=8，解得，h=2，则r=
则V=
故选B．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F-BCE的体积．
正确答案
∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．
∵BE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，BE∩AB=B
∴CE⊥平面ABE，
∵BF⊂平面ABE，
∴CE⊥BF，
又BF⊥AE且CE∩AE=E，
∴BF⊥平面AEC，
∵AC⊂平面AEC，
∴BF⊥AC…（6分）
（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=
又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=
∴BF•AE=AB•BE，
∴BF=
∴VF-BCE=VC-BEF=
=
解析
∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．
∵BE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，BE∩AB=B
∴CE⊥平面ABE，
∵BF⊂平面ABE，
∴CE⊥BF，
又BF⊥AE且CE∩AE=E，
∴BF⊥平面AEC，
∵AC⊂平面AEC，
∴BF⊥AC…（6分）
（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=
又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=
∴BF•AE=AB•BE，
∴BF=
∴VF-BCE=VC-BEF=
=
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