- 空间几何体
- 共15406题
若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
正确答案
解析
解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；
n大于4，也不成立；
在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；
同理n＞5，不成立．
故选：B．
关于正四棱锥P-ABCD，给出下列命题：①异面直线PA，BD所成的角为直角；②侧面为锐角三角形；③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角；④相邻两侧面所成的二面角为钝角，其中正确的命题序号是______．
正确答案
①②③④
解析
②侧面三角形底角不会为钝角，若顶角为钝角，则构不成正四棱锥，所以是锐角三角形，正确．
③如图所示∵OB＞OE∴侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角，正确；
④如图：因为BO=OD=OA，在直角三角形AOP中，可得OA＞OF，所以BO=OD＞OF，
所以∠BFO=∠DFO＞45°
所以cos∠BFD＜0则相邻两侧面所成的二面角为钝角，正确．
故答案为：①②③④．
正确答案
两点间的连接线BB‘即是截面周长的最小值．
∵BB′∥CD，
∴△ADB′∽△B′FD，
∴DF/DB’=DB’/AD
其中AD=2a，DB’=a．
∴DF=
又△AEF∽△ACD，
∴EF/CD=AF/AD，其中CD=a，AD=2a，AF=2a-
∴EF=
∴截面周长最小值是BB’=2a+
解析
两点间的连接线BB‘即是截面周长的最小值．
∵BB′∥CD，
∴△ADB′∽△B′FD，
∴DF/DB’=DB’/AD
其中AD=2a，DB’=a．
∴DF=
又△AEF∽△ACD，
∴EF/CD=AF/AD，其中CD=a，AD=2a，AF=2a-
∴EF=
∴截面周长最小值是BB’=2a+
如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是______．
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补；
③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆；
④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上．
正确答案
②
解析
解：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立，例如圆锥的轴截面与底面垂直，另一面与底面成锐角；
③如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；
④等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确．故选②．
故答案为：②
在棱长为1的正方体中过相邻三个面上的对角线截得一个正三棱锥，则它的高是（ ）
A1
B
C
D
正确答案
解析
棱锥C′-CBD的体积为：
又棱锥C-BDC′的体积为：
它们是同一个几何体的体积，
∴
∴h=
故选C．
正确答案
证明：连接AC，在△ABC中，
∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC
在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，
∴QP∥AC，∴MN∥QP
同理，连接BD可证MQ∥NP
∴MNPQ是平行四边
取AC的中点K，连BK，DK
∵AB=BC，∴BK⊥AC，
∵AD=DC，∴DK⊥AC．
因此平面BKD与AC垂直
∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC
∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角
故MNPQ是矩形．
解析
证明：连接AC，在△ABC中，
∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC
在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，
∴QP∥AC，∴MN∥QP
同理，连接BD可证MQ∥NP
∴MNPQ是平行四边
取AC的中点K，连BK，DK
∵AB=BC，∴BK⊥AC，
∵AD=DC，∴DK⊥AC．
因此平面BKD与AC垂直
∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC
∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角
故MNPQ是矩形．
正确答案
正三棱台ABC-A1B1C1中，高OO1=3，底面边长为A1B1=2，AB=4，
∴OA=
O1A1=
∴棱台的侧棱长为
AA1=
又OE=
O1E1=
∴该棱台的斜高为
EE1=
解析
正三棱台ABC-A1B1C1中，高OO1=3，底面边长为A1B1=2，AB=4，
∴OA=
O1A1=
∴棱台的侧棱长为
AA1=
又OE=
O1E1=
∴该棱台的斜高为
EE1=
已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面积之和，求棱台的高．
正确答案
解：如图所示，
在正三棱台ABC-A1B1C1中，
两底面边长分别为AB=30cm，A1B1=20cm，
∴侧面积为S侧=3×
两底面积之和为S底=
∵S侧=S底，
∴
解得DD1=
∴
∴OO1=
即棱台的高为4
解析
解：如图所示，
在正三棱台ABC-A1B1C1中，
两底面边长分别为AB=30cm，A1B1=20cm，
∴侧面积为S侧=3×
两底面积之和为S底=
∵S侧=S底，
∴
解得DD1=
∴
∴OO1=
即棱台的高为4
将一个边长分别为4和6的矩形卷成一个圆柱形，则此圆柱的最大体积是______．
正确答案
解析
解：若圆柱的底面周长为4，则底面半径R=
此时圆柱的体积V=π•R2•h=
若圆柱的底面周长为6，则底面半径R=
此时圆柱的体积V=π•R2•h=
∴圆锥的最大体积为：
故答案为：
已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的
正确答案
解析
解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是
所以圆锥体积较小者的高为：4-2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；
所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：
故答案为：
正确答案
解析
解：因为正方体内接于球，所以2R=
过球心O和点E、F的大圆的截面图如图所示，
则直线被球截得的线段为QR，过点O作OP⊥QR
于点P，所以，在△QPO中，QR=2QP=2
故答案为：
在四面体PABC中，有下列命题，其中正确命题的个数（ ）
①若PABC为正三棱锥，则相邻两侧面所成二面角的取值范围是（
②若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则
③若PABC为正四面体，点E在棱PA上，点F在棱BC上，使得
④若它的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
正确答案
解析
解：对于①，如图所示，
过点A作AD⊥PB于点D，连接DC，
∴△PAB≌△PCB，∴CD⊥PB，
∴∠ADC为侧面PAB与侧面PCB的平面角，
设AB=a，AD=b，则b＜a，
在△ACD中，由余弦定理得，cos∠ADC=
所以∠ADC＞
对于②，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，
∴过点P作PD⊥BC与D，
则PD=
∴h2=
对于③，如图所示，
则
∴∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，
取AC的中点M，连接PM，BM，∵PABC是正四面体，∴AC⊥PM，AC⊥BM，
∵PM∩BM=M，∴AC⊥平面PBM
∵PB⊂平面PBM
∴AC⊥PB，∴∠EGF=90°
∴f（λ）=αλ+βλ=∠GEF+∠GFE=90°，为定值，③正确；
对于④，∵
∴PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径，
∴4=PA2+PB2+PC2，
由基本不等式得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，
即4=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC，
∴三棱锥P-ABC的侧面积S=
即三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为2，∴④错误．
综上，以上正确的命题是①②③．
故选：B．
（1）试用x表示圆柱的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大．
正确答案
由图得，
∴S圆柱侧=
（2）由（1）知当
∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2（10分）
解析
由图得，
∴S圆柱侧=
（2）由（1）知当
∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2（10分）
（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；
（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；
（3）求DH的长．
正确答案
解：（1）根据公里3，作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，则点Q是截面EFGH与底面ABCD，
故连PQ得直线l，它便是所求作，如下图：
（2）截面EFGH为菱形．
∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．
同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．
又∵EF2=AB2+（BF-AE）2=25，FG2=BC2+（CG-BF）2=25，∴EF=FG=5，
∴四边形EFGH为菱形．
（3）∵几何体是长方体被一平面斜截所得的，
∴AE+CG=BF+DH，把AE=5，BF=8，CG=12代入得，DH=9．
解析
解：（1）根据公里3，作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，则点Q是截面EFGH与底面ABCD，
故连PQ得直线l，它便是所求作，如下图：
（2）截面EFGH为菱形．
∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．
同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．
又∵EF2=AB2+（BF-AE）2=25，FG2=BC2+（CG-BF）2=25，∴EF=FG=5，
∴四边形EFGH为菱形．
（3）∵几何体是长方体被一平面斜截所得的，
∴AE+CG=BF+DH，把AE=5，BF=8，CG=12代入得，DH=9．
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（ ）
正确答案
解析
根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，
同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，
又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，
F 为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．
故选C．
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