- 空间几何体
- 共15406题
在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为______．
正确答案
解析
易得AE=
EF是AB、CD的公垂线，
相对两条棱间的距离为：
故答案为：
（1）画出俯视图；
（2）求表面积．
正确答案
解：（1）由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
俯视图如图：
（2）由题意可知几何体的表面积是原长方体的表面积去掉小长方体表面积的一半．
∴S=S原长方体全-
=2（10×8+8×6+10×6）-
=329．
解析
解：（1）由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
俯视图如图：
（2）由题意可知几何体的表面积是原长方体的表面积去掉小长方体表面积的一半．
∴S=S原长方体全-
=2（10×8+8×6+10×6）-
=329．
圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16
A
B
C64π
D128
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
∴2r=
由题意得，侧面积S侧=πrl=
解得r=4，
∴l=4
∴圆锥的体积V=
故选：A．
圆锥的底面周长为4π，侧面积为8π，则圆锥的母线长为（ ）
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的底面周长为4π，侧面积为8π，
∴
故选：A
已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是（ ）
AV≥π
BV≤π
CV≥
DV≤
正确答案
解析
解：设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意
得：4r+2h=6，即2r+h=3，
∴体积为V=πr2h≤π[
当且仅当r=h时取等号，由此可得V≤π恒成立
故选：B
三棱锥的体积为V，过棱锥的高的三等分点的两个平行于底面的截面将棱锥分成三部分的体积比为______．
正确答案
1：7：19
解析
解：由已知中从顶点起将三棱锥的高三等分，过两个分点分别作平行于底面的截面，
则以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体，
高的比是相似比为1：2：3，
根据相似的性质三个锥体的体积的相似比为：13：23：33=1：8：27，
则分成三部分的体积比为V1：V2：V3=1：（8-1）：（27-8）=1：7：19．
故答案为：1：7：19．
一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）
正确答案
解析
解：个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离
则平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行
且各个顶点在平移过程中形成的线相互平行
各边在平移过程形成的面均为平行四边形
故形成的几何体为棱柱
故选B
圆柱的高不变，体积扩大到原来的n倍，则底面半径应扩大到原来的（ ）
An倍
B
C
Dn2倍
正确答案
解析
解：设圆柱底面半径扩大x倍，高不变，体积扩大x2倍，
由题意得，x2=n，∴x=
故选B．
某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角为45°，则这个圆台的高为（ ）
A7
B14
C21
D
正确答案
解析
解：设圆台的上、下底面半径分别为r、R，高为h，画出轴截面如图
根据题意得：
2πR=3×2πr，
∴R=3r，
又∵母线与轴的夹角为45°，
∴h=R-r=2r，
∴轴截面的面积为
∴r=7，
∴圆台的高为h=2r=14；
故选：B．
如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面中两条母线的夹角是______．
正确答案
60°
解析
解：
∵圆锥的侧面展开图是半圆，
∴侧面展开图的圆心角为180°，即
Rt△SOA中，sin∠ASO=
因此∠ASB=2∠ASO=60°，即轴截面中两条母线的夹角是60°．
故答案为：60°
用半径为
正确答案
解析
则由题意得R=
由2πr=l得r=10；（5分）
由R2=r2+h2得h=10；（8分）
由
所以该容器最多盛水
故答案为
圆柱型金属饮料罐的容积V一定时，它的高h与底面半径R具有怎样的关系时，才能使所用材料最省？
正确答案
（本小题满分12分）
解：如图，饮料罐的表面积S=2πRh+2πR2．…（2分）
由V=πR2h，得
所以S=
当且仅当
把
答：当饮料罐的高与底面的直径相等时，所用材料最省． …（12分）
解析
（本小题满分12分）
解：如图，饮料罐的表面积S=2πRh+2πR2．…（2分）
由V=πR2h，得
所以S=
当且仅当
把
答：当饮料罐的高与底面的直径相等时，所用材料最省． …（12分）
下面关于三棱锥P-ABC的五个命题中，正确的命题有 ______．①当△ABC为等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等时，三棱锥P-ABC为正三棱锥；②当△ABC为等边三角形，侧面都为等腰三角形时，三棱锥P-ABC为正三棱锥；③当△ABC为等边三角形，点A在侧面PBC上的射影是三角形PBC的垂心时，P-ABC为正三棱锥；④若三棱锥P-ABC各棱相等时，它的外接球半径和高的比为3：4：⑤当三棱锥P-ABC各棱长相等时，若动点M在侧面PAB内运动，且点M到面ABC的距离与点M到点P的距离相等，则M的轨迹为椭圆的一部分．
正确答案
①③④⑤
解析
解：①∵侧面与底面所成的二面角都相等，故三个侧面的侧高均相等，
则顶点在底面上的射影到底面三边的距离也相等，即为底面的内心，故①正确．
②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，
侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥． 故②错误
③当△ABC为等边三角形，点A在侧面PBC上的射影是三角形PBC的垂心时，P-ABC为正三棱锥，故③正确
④若三棱锥P-ABC各棱相等时，它的外接球半径和高的比为3：4，故④正确
⑤当三棱锥P-ABC各棱长相等时，若动点M在侧面PAB内运动，
且点M到面ABC的距离与点M到点P的距离相等，
则M到P的距离与到BC的距离之比为定值，而且介于0到1之间，由椭圆的定义，故⑤正确
故答案为：①③④⑤
已知正四面体的棱长为4cm，求由正四面体的中截面所截出的正三棱台的斜高、高、上、下底面的面积（注：中截面特指经过高的中点且平行于底面的几何体的截面）．
正确答案
解：如图所示，
如图所示，点O，O1分别为正△ABC，正△A1B1C1的中心，点D，D1分别为BC，B1C1的中点．过点D1作D1E⊥AD，垂足为E点．
∵正四面体的棱长为4cm，
∴斜高D1D=
∴高O1O=
S△ABC=
解析
解：如图所示，
如图所示，点O，O1分别为正△ABC，正△A1B1C1的中心，点D，D1分别为BC，B1C1的中点．过点D1作D1E⊥AD，垂足为E点．
∵正四面体的棱长为4cm，
∴斜高D1D=
∴高O1O=
S△ABC=
（2015春•海南校级期中）一个棱柱至少有______个面；面数最少的一个棱锥有______个顶点；顶点最少的一个棱台有______条侧棱．
正确答案
5
4
3
解析
解：面最少的三棱柱是三棱柱，
它有五个面；
面数最少的棱锥是三棱椎，
它有4个顶点；
顶点最少的一个棱台是三棱台，
它有三条侧棱．
故答案为：5，4，3．
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