- 空间几何体
- 共15406题
已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的表面积为______．
正确答案
解析
解：如图，设AC=3，BC=4，
作OC交AB于O，则OC为两个圆锥共同的底面的半径，设AC=3，BC=4，
∵AB•OC=AC•BC
∴OC=
以AC为母线的圆锥侧面积=π×3×
以BC为母线的圆锥侧面积=π×4×
∴表面积为 
故答案为：
如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是______．
正确答案
解析
解：设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，
则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为
故答案为：
将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为______．
正确答案
4π
解析
解：∵圆心角为120°，面积为3π的扇形，
∴
∴圆锥母线长为：l=3，
∵πrl=3π，
∴r=1，
∴S底=πr2=π，
∴圆锥的表面积为3π+π=4π，
故答案为：4π．
空间四边形ABCD中，AC=8，BD=12，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EFGH为平行四边形，则四边形EFGH的周长的取值范围是______．
正确答案
（16，24）
解析
∴由三角形相似：
∴
又∵
∴
∴截面平行四边形EFGH的周长C=2（EF+EH）=
2（
∵0＜AE＜AB，
∴周长的取值范围为：16＜C＜24
故答案为：（16，24）．
三棱锥P-ABC中，M、N、K分别是△PAB，△PBC，△PAC的重心，S△ABC=18．
（1）求证：MN
（2）求S△MNK．
正确答案
连接PN，延长交BC于E，连接DE，
由于M，N为△PAB，△PBC的重心，则D，E均为中点，
在△ABC中，DE∥AC，DE=
由于
则MN∥DE，MN=
则有MN
（2）由（1）得，MN∥AC，MN=
同理可得，MK∥BC，MK=
NK∥AB，NK=
则△MNK∽△ACB，
即有S△MNK：S△ABC=1：9，
由于S△ABC=18，则S△MNK=18×
解析
连接PN，延长交BC于E，连接DE，
由于M，N为△PAB，△PBC的重心，则D，E均为中点，
在△ABC中，DE∥AC，DE=
由于
则MN∥DE，MN=
则有MN
（2）由（1）得，MN∥AC，MN=
同理可得，MK∥BC，MK=
NK∥AB，NK=
则△MNK∽△ACB，
即有S△MNK：S△ABC=1：9，
由于S△ABC=18，则S△MNK=18×
在正三棱锥P-ABC中，若AB=PA=a，则侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值为______．
正确答案
解析
正三棱锥P-ABC中，AB=PA=a，
作PO⊥平面ABC，垂足为O，
连接AO，并延长交BC于点D，
∴∠PAD是PA与平面ABC所成的角，
且O是正三角形ABC的中心；
∴AD=
∴AO=
∴cos∠PAD=
即侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值为
故答案为：
已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（ ）
A2
B
C3
D
正确答案
解析
解：设正四棱台的高为h，斜高为x，由题意可得 4•
再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得 h=
故选A．
（1）试用x表示圆柱的体积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．
正确答案
解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，
∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x
因此，内接圆柱的高 h=6-3x；
∴圆柱的体积V=πx2（6-3x） （0＜x＜2）---------------------------（6分）
（2）由（1）得，圆柱的侧面积为
S侧=2πx（6-3x）=6π（2x-x2） （0＜x＜2）
令t=2x-x2，当x=1时tmax=1．可得当x=1时，（ S侧）max=6π
∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．------------------------------（7分）
解析
解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为6，
∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x
因此，内接圆柱的高 h=6-3x；
∴圆柱的体积V=πx2（6-3x） （0＜x＜2）---------------------------（6分）
（2）由（1）得，圆柱的侧面积为
S侧=2πx（6-3x）=6π（2x-x2） （0＜x＜2）
令t=2x-x2，当x=1时tmax=1．可得当x=1时，（ S侧）max=6π
∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．------------------------------（7分）
（2015秋•青岛校级月考）有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为
（1）求圆锥的体积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
正确答案
解：（1）∵圆锥侧面展开图的半径为5，
∴圆锥的母线长为5．
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=
∴圆锥的高为4．
∴圆锥的体积V=
（2）设圆柱的底面半径为R，则
∴圆柱的侧面积为2π（3-
当且仅当4-x=x，即x=2时，圆柱的侧面积最大．
解析
解：（1）∵圆锥侧面展开图的半径为5，
∴圆锥的母线长为5．
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=
∴圆锥的高为4．
∴圆锥的体积V=
（2）设圆柱的底面半径为R，则
∴圆柱的侧面积为2π（3-
当且仅当4-x=x，即x=2时，圆柱的侧面积最大．
在三棱锥A-BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=m，则m的取值范围是（ ）
A（1，5）
B（1，7）
C（
D（
正确答案
解析
如图：
设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，
则
∴a2+c2+2b2=25，
则m2=a2+c2＜a2+c2+2b2=25，∴m＜5；
∵△BNC为△BAC的射影，且∠BNC=90°，∴∠BAC为锐角．
则32+m2-42＞0，即
∴m的取值范围是（
故选：D．
已知三棱台ABC-A′B′C′的上、下两底均为正三角形，边长分别为3和6，平行于底的截面将侧棱分为1：2两部分，求截面的面积．
正确答案
解：如图，截面为A″B″C″，
在等腰梯形ABB′A′中作BD⊥A′B′交A″B″于E，
∵平行于底的截面将侧棱分为1：2两部分
∴由三角形相似可得
又∵DB′=
∴A″B″=3+2×
∴截面的面积S=
解析
解：如图，截面为A″B″C″，
在等腰梯形ABB′A′中作BD⊥A′B′交A″B″于E，
∵平行于底的截面将侧棱分为1：2两部分
∴由三角形相似可得
又∵DB′=
∴A″B″=3+2×
∴截面的面积S=
设棱锥的高为H，底面积为S，用平行于底面的平面截得的棱锥高的下半部分高为h，若截面面积为P，则h：H是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵平行于底面的截面与底面是相似的多边形，
两个面积的相似比等于对应的棱锥的高度之比，
∴
∴
∴h：H=1-
故选D
正确答案
解析
其底面三角形如图所示，
则V水=V柱=SEFCB×侧棱长=
设图①中水面的高度为x，则S•x=
得x=
故答案为：
已知正三棱锥的高为1，底面边长为2
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．
正确答案
解：（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，边长BC=2
连接HE、PE，
则HE=
S全=3×
=9
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，
∴
∴R=
解析
解：（1）设正三棱锥的底面中心为H，
由题意知PH=1，边长BC=2
连接HE、PE，
则HE=
S全=3×
=9
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，
∴
∴R=
正确答案
1：1
解析
VADEFGH=VD-EFGH+VD-EFA：
图2中，连接BF、BG，
VBCEFGH=VB-EFGH+VG-CBFE，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，
所以VD-EFGH=VB-EFGHVD-EFA的底面面积是VG-CBF的一半，高是它的2倍，
所以二者体积相等．
所以VADEFGH：VBCEFGH=1：1
故答案为：1：1
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