- 空间几何体
- 共15406题
已知正方体的棱长为1，F，E分别为AC和BC′的中点，则线段EF的长为______．
正确答案
解析
∵AB=1，
∴A（1，0，0），C（0，1，0），
∴F（
又∵B（1，1，0），C′（0，1，1），
∴E（
∴
∴|
故答案为：
给出下列四个命题：①平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形；②圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线，其中假命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：①平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，故①不正确；
②圆柱是将矩形以矩形的一条对角线为轴，旋转所得的就不是圆柱，故②错；
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2也可能相交直线，故错；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线可能是相交直线，故错．
其中假命题的个数是：4
故选D．
一个正三棱柱下底面是等边三角形，各侧面是全等的矩形，已知底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．
正确答案
解：如图正三棱柱ABC-DEF，底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，如图截面为△ABF，
∵AB=4，AD=6，过C作CG⊥AB与G，连结FG，则FG⊥AB，
∴CG=
∴FG=
∴△ABF的面积为
所以截面面积为
解析
解：如图正三棱柱ABC-DEF，底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，如图截面为△ABF，
∵AB=4，AD=6，过C作CG⊥AB与G，连结FG，则FG⊥AB，
∴CG=
∴FG=
∴△ABF的面积为
所以截面面积为
已知棱台的上，下底面积分别为9cm2，16cm2，则它的中截面积为______．
正确答案
解析
解：如图，
不妨设棱台高为2r，上部分小棱锥的高为a，
则
∴
又
∴
∴中截面积为S中=
故答案为：
圆锥的底面半径为5cm，高为10cm，当它的内接圆柱的底面半径r为何值时？此圆柱两底面积与侧面积之和S有最大值．
正确答案
解：如图，△SAB是圆锥的轴截面，其中SO=10，OB=5，
设圆锥内接圆柱的底面半径O1C=r，
∵△SOB∽△SO′C′，
∴
∴SO1=
001=10-2r，
∴圆柱两底面积与侧面积之和S=2π（10-2r）r+2πr2=2π（10r-r2），
∵001=10-2r＞0，0＜r＜5，
∴不存在r的值，使圆柱两底面积与侧面积之和S有最大值．
解析
解：如图，△SAB是圆锥的轴截面，其中SO=10，OB=5，
设圆锥内接圆柱的底面半径O1C=r，
∵△SOB∽△SO′C′，
∴
∴SO1=
001=10-2r，
∴圆柱两底面积与侧面积之和S=2π（10-2r）r+2πr2=2π（10r-r2），
∵001=10-2r＞0，0＜r＜5，
∴不存在r的值，使圆柱两底面积与侧面积之和S有最大值．
圆锥的母线长与底面半径所成的比为2：1，则该圆锥的侧面展开图中圆弧所对的圆心角为（ ）
A
Bπ
C
D
正确答案
解析
解：设底面圆的半径为r，则母线长为2r，圆锥的侧面展开图的弧长为2πr，
所以侧面展开图中圆弧所对的圆心角为
答案：B．
以边长为
正确答案
2
解析
解：过A1做AA1的垂线A1D，取BC的中点E，连接AE，
由题意知A1在底面上的射影在线段AE上，
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC，
根据线面垂直的判定定理知，BC⊥平面A1AE
∴BC⊥AA1，BC⊥BB1，
∵AB⊥DA1，∴∠DAA1=450，设棱AA1=a，则DA1=
∵斜三棱柱的侧面积为4+4
∴4+4
解得，a=2
故答案为：2
半径为R的半圆卷成圆锥，其表面积为______．
正确答案
解析
解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴r=
∴圆锥表面积为
故答案为：
圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的体积是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，
∴圆柱的母线长等于底面圆周长，即l=2πr，
又∵圆柱的底面积为S，
∴πr2=S，解得r=
由此得到圆柱的高h=l=2πr=2π•
圆柱的体积为V=πr2h=π•
故选：C
四面体ABCD中，棱AB、AC、AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD的（ ）
正确答案
解析
解：
∵BA⊥CA，BA⊥DA，CA∩DA=A
∴BA⊥平面ACD，结合CD⊂平面ACD
∴CD⊥BA
又∵AH⊥平面BDC，CD⊂平面BDC
∴CD⊥AH
∵AH∩BA=A
∴CD⊥平面ABH，得到BH⊥CD
所以BH为DC边上的高
同理可得DH为BC边上的高
因此H为三角形BDC的垂心．
故选A
已知ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体，点P1，P2分别是线段AB，BD1上的动点且不包括端点，在P1，P2运动的过程中线段P1，P2始终平行平面A1ADD1，则几何体P1P2AB1的体积为最大值时，AP1=（ ）
A
B
C1
D2
正确答案
解析
设P1B=x，x∈（0，1），
则P1P2=
所以四面体P1P2AB1的体积为V=
当x=
∴AP1=
故选：A．
正确答案
解：设圆锥的高为x，半径为r，则
=
V′（x）=-π（x2+20x-300）（5分）
令V‘（x）=0解得x=-30（不合题意，舍去），x=10．
当0＜x＜10时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；当10＜x＜30时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．（7分）
所以当x=10时，V（x）最大．即当OO′为20m时，组合体的体积最大（9分）
最大体积为：
解析
解：设圆锥的高为x，半径为r，则
=
V′（x）=-π（x2+20x-300）（5分）
令V‘（x）=0解得x=-30（不合题意，舍去），x=10．
当0＜x＜10时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；当10＜x＜30时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．（7分）
所以当x=10时，V（x）最大．即当OO′为20m时，组合体的体积最大（9分）
最大体积为：
若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：图为一正四棱台和长方体的组合体的三视图，
正四棱台的底面边长为8，上底面边长为4，棱台的高为2，
长方体的底面是边长为4的正方形，高为2，
由公式计算得体积为
故选：B．
（Ⅰ）求证：BC∥平面EFG；
（Ⅱ）求证：DH⊥平面AEG；
（Ⅲ）求三棱锥E-AFG与四棱锥P-ABCD的体积比．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵BC∥AD，AD∥EF，∴BC∥EF…（2分）
∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，
∴BC∥平面EFG…（3分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DH⊂平面ABCD，
∴PA⊥DH，即 AE⊥DH…（5分）
∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90°
∴DH⊥AG
又∵AE∩AG=A，
∴DH⊥平面AEG…（8分）
（Ⅲ）解：
解析
（Ⅰ）证明：∵BC∥AD，AD∥EF，∴BC∥EF…（2分）
∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，
∴BC∥平面EFG…（3分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DH⊂平面ABCD，
∴PA⊥DH，即 AE⊥DH…（5分）
∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90°
∴DH⊥AG
又∵AE∩AG=A，
∴DH⊥平面AEG…（8分）
（Ⅲ）解：
某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ）
A8
B6
C4
D
正确答案
解析
解：根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；
它的底面三角形的面积为S底面=
棱柱高为h=2；
∴棱柱的体积为S棱柱=S底面•h=2×2=4；
故选：C．
扫码查看完整答案与解析