- 空间几何体
- 共15406题
在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是______（写出所有正确结论的编号）．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
正确答案
①③④⑤
解析
②错误任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1D1BC为矩形；
③正确，如四面体A1ABD；
④正确，如四面体A1C1BD；
⑤正确，如四面体B1ABD；
则正确的说法是①③④⑤．
故答案为①③④⑤
（1）证明：P为A1B中点；
（2）若A1B⊥AC1，求三棱锥P-A1AC的体积．
正确答案
∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO
∴AB⊥QP
∴P为A1B的中点（4分）
（Ⅱ）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，
则BR⊥平面A1C1CA，由已知A1B⊥AC1，
∴A1R⊥AC1，∴△AC1C～△A1RA
∴
则AA1=
∵
∴h=
∴
解析
∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO
∴AB⊥QP
∴P为A1B的中点（4分）
（Ⅱ）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，
则BR⊥平面A1C1CA，由已知A1B⊥AC1，
∴A1R⊥AC1，∴△AC1C～△A1RA
∴
则AA1=
∵
∴h=
∴
若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为4，6，过AB的中点E且平行BD，AC的截面四边形的周长为______．
正确答案
10
解析
∴周长为2×（2+3）=10．
故答案为：10．
正确答案
解析
∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，
∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ
∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°-60°=30°．
由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=
∵∠QPC是∠QPB的余角，所以cos∠QPC=
再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，得到cos∠MPC=
∴∠MPC=60°
故选C．
空间四边形ABCD的两条对角线AC=4，BD=6，则平行于两对角线的截面四边形EFGH的周长的取值范围是______．
正确答案
（8，12）
解析
解：设E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，
∵截面四边形EFGH平行于两对角线
∴EFGH是平行四边形．
∴由三角形相似：
∴
又∵
∴
∴截面平行四边形EFGH的周长C=2（EF+EH）=2（
∵0＜AE＜AB，
∴周长的取值范围为：8＜C＜12
故答案为：（8，12）
要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设圆锥的高为x，
则底面半径为
其体积为V=
V′=
解得x1=
当0＜x＜
当
∴当x=
故选D．
圆柱的底面半径为3，母线长为5，则圆柱的体积为______．
正确答案
45π
解析
解：∵圆柱的底面半径为r=3，
∴圆柱的底面圆的面积S=πr2=9π
又∵圆柱的母线长为5，
∴圆柱的高h等于5
根据柱体体积公式，得V=Sh=9π×5=45π
故答案为：45π
正四棱锥P-ABCD的底边及侧棱长都是2，M，N分别为底边CD，CB上的动点，且CM=CN，当四面体P-AMN的体积最大时，直线PA与面PMN的所成角的大小是______．
正确答案
45°
解析
解：如图，
设CM=CN=x，则DM=1-x，MN=
AM2=4+（2-x）2=8-4x+x2，
令f（x）=
由f′（x）=0，得x=2或x=4（舍），
∴当x=2时，
此时M与D重合，N与B重合，由△BAD≌△DPB，可得直线PA与面PMN的所成角的大小是45°．
故答案为：45°．
下列命题中真命题的个数是（ ）
①存在斜四棱柱，其底面为正方形；
②存在棱锥，其所有面均为直角三角形；
③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直；
④任意的三棱柱都可以分割为三个体积相同的三棱锥．
正确答案
解析
②存在棱锥，其所有而均为直角三角形；如图
③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直；这是不正确的．
圆锥的顶角小于90°时就没有了．
④任意的三棱柱都可以分割为三个体积相同的三棱锥．
是正确的，三棱锥的体积公式就是这样推出的．
故选C
在三棱锥V-ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC满足 ______时，VC⊥AB（填上你认为正确的一种条件即可）．
正确答案
VC⊥VA且VC⊥VB
解析
解：当VC⊥VA且VC⊥VB
∴VC⊥平面VAB
∴VC⊥AB
故答案为：VC⊥VA且VC⊥VB
正确答案
解析
解：∵AC∥面EFG，BD∥面EFG，
∴EF∥AC，BD∥FG．
∴
∴
故答案为：
正三棱锥V-ABC中，AB=1，侧棱VA，VB，VC两两互相垂直，则底面中心到侧面的距离为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
O是底面正三角形ABC的中心，O到侧面距离OP是VC的
因为AB=1所以VA=
所以OP=
故选C．
在棱长为1的正方体AC1中，E为AB的中点，点P为侧面BB1C1C内一动点（含边界），若动点P始终满足PE⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为______．
正确答案
解析
取BC，BB1的中点F，G．连接EF，FG，EG，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
有BD1⊥面EFG，
又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，
根据平面的基本性质得：
点P的轨迹为面EFG与面BCC1B1的交线段FG．
在直角三角形BFG中，BG=BF=
故答案为：
设M={正四棱柱}，N={直四棱柱}，P={长方体}，Q={直平行六面体}，则四个集合的关系为（ ）
正确答案
解析
解：M={正四棱柱}；底面是正方形的直棱柱；
N={直四棱柱}：是侧棱与底面垂直的四棱柱，底面是四边形即可；
P={长方体}：底面是矩形侧棱垂直底面的四棱柱；
Q={直平行六面体}：是侧棱垂直底面的四棱柱；
故选B．
已知-个三棱锥与一个四棱锥，它们的所有棱为1，将三棱锥与四棱锥的侧面粘在一起使之完全重合，则所得到的多面体是（ ）
正确答案
解析
解：
所得到的多面体是七面体，如图所示．
故选：C．
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