空间几何体_章节学习

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题型：单选题

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单选题

将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是（　　）

A圆锥

B圆柱

C圆台

D以上均不正确

正确答案

A

解析

解：由旋转体的定义，

将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，

形成的几何体为圆锥

故选A

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题型：单选题

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单选题

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=0，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（　　）

A

B

C

D1

正确答案

B

解析

解：∵平面ACD1⊥平面BDD1B1，又MN⊥平面ACD1，

∴MN⊂平面BDD1B1，∴N∈B1D1

过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，将平面A1B1C1D1展开，如图：

设NG=x，（0≤x≤1），

∴AN===≥，

当x=时最小．

故选B．

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题型：单选题

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单选题

圆锥的侧面面积是底面面积的2倍，则圆锥的母线与底面所成的角为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：

其底面积：S底面积=πR2，

其侧面积：S侧面积=•2πR•l=πRl

∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，

∴πRl=2πR2，即l=2R，

故该圆锥的母线与底面所成的角θ满足：cosθ==，

∴θ=．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（　　）

A

B

C2πa

D3πa

正确答案

B

解析

解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，

依题意知 R2=a，即R2=a，

∴S球=4πR2=4π•a=．

故选B

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题型：填空题

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填空题

一个密闭的透明正方体容器内装有一半体积的溶液，任意转动容器，则溶液表面可以是：①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；其中正确的序号是：______．

正确答案

②、③、④

解析

解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

设棱长为a，

体积最大的三棱锥A1-ABC的体积是，

∵＜，

∴溶液表面不可能是三角形．

溶液表面是菱形，矩形和正方形时，其体均不小于，

故答案为：②③④．

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题型：简答题

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简答题

已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若AB=6，AD=8，异面直线PB与CD所成的角为arctan2，求此圆柱的体积．

正确答案

解：设圆柱下底面圆O的半径为r，连AC，由矩形ABCD内接于圆O，

可知AC是圆O的直径，（2分）

∴，得r=5，（4分）

由AB∥CD，可知∠PBA就是异面直线PB与CD所成的角，即∠PBA=arctan2，

∴tan∠PBA=2．（7分）

在直角三角形PAB中，PA=ABtan∠PBA=12，（9分）

∴圆柱的体积V=πr2•PA=π×52×12=300π．（12分）

解析

解：设圆柱下底面圆O的半径为r，连AC，由矩形ABCD内接于圆O，

可知AC是圆O的直径，（2分）

∴，得r=5，（4分）

由AB∥CD，可知∠PBA就是异面直线PB与CD所成的角，即∠PBA=arctan2，

∴tan∠PBA=2．（7分）

在直角三角形PAB中，PA=ABtan∠PBA=12，（9分）

∴圆柱的体积V=πr2•PA=π×52×12=300π．（12分）

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题型：单选题

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单选题

若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（　　）

A4倍

B3倍

C倍

D2倍

正确答案

D

解析

解：圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r，则它的底面积为πr2；圆锥的侧面积为：=2πr2；

所以它的底面积与侧面积之比为：1：2．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线B1D1上一点E满足D1E=1，则∠CDE的大小为______．

正确答案

60°

解析

解：如图示：

∵D1E=1，

在直角三角形DD1E中，

∵D1D=D1E=1，

∴DE=，

以A为坐标原点，以向量所在直线为x轴，以向量所在直线为轴，

以向量所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，

则C（1，1，0），D（0，1，0），E（，1-，1），

∴=（1，0，0），=（，-，1），

∴cos∠CDE===，

∵∠CDE∈[0，π]，

∴∠CDE=60°，

故答案为：60°．

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题型：单选题

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单选题

如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（　　）

A，1

B，1

C，

D，

正确答案

C

解析

解：设球的半径为R，

则圆柱的底面半径为R，高为2R，

∴V圆柱=πR2×2R=2πR3，V球=πR3．

∴==，

S圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2，S球=4πR2．

∴==．

故选C．

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题型：单选题

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单选题

六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．已知在平行四边形ABCD中（如图1），有AC2+BD2=2（AB2+AD2），则在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中（如图2），AC12+BD12+CA12+DB12等于（　　）

A2（AB2+AD2+AA12）

B3（AB2+AD2+AA12）

C4（AB2+AD2+AA12）

D4（AB2+AD2）

正确答案

C

解析

解：如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，

因此，在平行四边形ABCD中，AC2+BD2=2（AB2+AD2）…①；

在平行四边形ACC1A1中，A1C2+AC12=2（AC2+AA12）…②；

在平行四边形BDD1B1中，B1D2+BD12=2（BD2+BB12）…③；

②、③相加，得A1C2+AC12+B1D2+BD12=2（AC2+AA12）+2（BD2+BB12）…④

将①代入④，再结合AA1=BB1得，AC12+B1D2+A1C2+BD12=4（AB2+AD2+AA12）

故选C．

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题型：填空题

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填空题

（文科做）已知一个圆锥的母线长为3，则它的体积的最大值为______．

正确答案

解析

解：设圆锥底面半径为r，高为h，则圆锥体积V=πr2•h

∵r2+h2=9，∴h=，

∴圆锥体积为

V=πr2•=•≤=．

当且仅当时，即当r=时圆锥体积V取得最大值

∴该圆锥体积的最大值为V=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与AB、AD、AA1所成角分别为α、β、θ，则cos2α+cos2β+cos2θ=______．

正确答案

1

解析

解：以AC1为斜边构成直角三角形：△AC1D，AC1B，AC1A1，

由长方体的对角线长定理可得

cos2α+cos2β+cos2θ=．

故答案为：1．

1

题型：填空题

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填空题

一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为______．

正确答案

解析

解：设母线长为l，底面半径为r，则依题意易知l=18cm，

由θ=，代入数据即可得r=12cm，

因此所求角的余弦值即为==．

故答案为：

1

题型：单选题

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单选题

用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为（　　）

A8

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，且圆柱高为h=2

∴底面圆周由长为4的线段围成，

可得底面圆直径2r=

∴此圆柱的轴截面矩形的面积为S=2r×h=

故选：B

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题型：单选题

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单选题

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到平面A1C1的距离是直线BC的距离的2倍，点M是棱BB1的中点，则动点P所在曲线的大致形状为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1的距离是点P到直线BC的距离的2倍，

即在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1的距离是点P到点B的距离的2倍，满足椭圆的定义，

所以动点P的轨迹是椭圆的一部分．

故选：C

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正确答案

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