- 空间几何体
- 共15406题
等腰Rt△ACB，AB=2，
A
B
C
D
正确答案
解析
解：
∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，
∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，
∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，
∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，
因此，三棱锥C-HAM的体积V=
设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=
可得CD=
Rt△ACD中，根据等积转换得CH=
Rt△ABD∽Rt△AHM，得
因此，S△CMH=
∵4+2tan2θ≥4
∴S△CMH=
当且仅当tanθ=
∵tanθ=
∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=
由此可得CD=
即当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为
故选：C
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
正确答案
解析
显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°
正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；
故选C．
在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为______．
正确答案
12
解析
解：如图，
若投影投在AA1D1D或BB1CC1平面上，投影面积由E点确定，最大面积为8，E与A1重合时取最大面积；
若投影投在ABCD或A1B1C1D1平面上，投影面积由F点确定，最大面积为8，F与D1重合时取最大面积；
若投影投在ABA1B1或DD1CC1平面上，投影面积由E点与F点确定，当E与A1，F与C1重合时，可得最大面积，G投在BB1的中点，是个直角梯形S=
故答案为12．
点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的（ ）
正确答案
解析
所以△PAO≌△POB≌△POC
即：OA=OB=OC
所以O为三角形的外心．
故选A
已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长都为
正确答案
（
解析
E是BD的中点，连AE，CE，则在三角形ACE中，CE=
当∠AEC→0时，第三条侧棱长→AE-CE=
当∠AEC→π时，第三条侧棱长→AE+CE=
故第三条侧棱长的取值范围是（
故答案为：（
正确答案
解析
解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；
（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；
（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；
（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的．
故答案选C．
空间四边形ABCD的一组对边BC、AD的长分别为6，4，BC⊥AD，则连接对角线AC，BD中点的线段长为______．
正确答案
解析
∵空间四边形ABCD的一组对边BC、AD的长分别为6、4，
∴GE∥BC，GE=3，GF∥AD，GF=2，
∵BC⊥AD，∴∠EGF=90°
∴EF2=GE2+GF2=9+4=13，
∴EF=
故答案为：
下面棱柱是正四棱柱的条件有______
（1）底面是正方形，有两个侧面是矩形；
（2）底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；
（3）底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直；
（4）每个侧面都是全等矩形的四棱柱．
正确答案
（3）
解析
解：（1）底面是正方形，有两个侧面是矩形且相对，另一对不是矩形时，不是正四棱柱；
（2）反例同（1）；
（3）正确；
（4）底面是菱形时，不是正四棱柱；
故答案为：（3）．
长方体三个面的面积为
正确答案
解析
解：设长方体的三度分别为：a，b，c，由题意可知：ab=
所以，a=
所以长方体的对角线长为：
故答案为：
下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是______．（写出所有真命题的编号）
正确答案
①，④
解析
解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
可推出底面中心等于是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．
②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，
根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，
由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，
因此不能保证三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．
故答案为：①④
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意得△ADE是一个等腰三角形，AD=AE，
∵在D点由P到B的运动过程中，
两腰长先减小后增大，
故可得△ADE周长也会先减小后增大，可排除BD
但不是直线变化
可排除A
故选C
过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为______．
正确答案
1：3：5
解析
解：由此可得到三个圆锥，
根据题意则有：
底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3，
母线长之比：l1：l2：l3=1：2：3，
侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9，
所以三部分侧面面积之比：S1：（S2-S1）：（S3-S2）=1：3：5．
故答案为：1：3：5．
（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
正确答案
解：（1）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的
（2）依上面剪拼方法，有V柱＞V锥．
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，
那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为
现在计算它们的高：
所以V柱＞V锥．
（3）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．
解析
解：（1）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的
（2）依上面剪拼方法，有V柱＞V锥．
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，
那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为
现在计算它们的高：
所以V柱＞V锥．
（3）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图，取MN中点O，连接AO，SO，延长SO交BC于点D，
连接AD，则BD=DC，
∵三棱锥S-ABC为正三棱锥，∴AM=AN∴AO⊥MN
∵截面AMN⊥侧面SBC，
∴AO⊥侧面SBC，
∴AO⊥SD，又SO=OD，∴SA=AD，
过S作SH⊥底面ABC，垂足为H，H为底面的中心，AH=
则三棱锥的侧棱与底面所成角为∠SAH，
在直角三角形SAH中，SH=
故tan∠SAH=
故选：A．
一棱台两底面周长的比为1：5，过侧棱的中点作平行于底面的截面，则该棱台被分成两部分的体积比是（ ）
正确答案
解析
解：由题意设上、下底面对应的边的分别为x：5x，
故截面上的对应边为3x，棱台的高为2h，
即对应边的比为：1：3：5，故面积比为1：9：25，
不妨设为s，9s，25s，
故体积比为
故选D
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