热门试卷

解：由正方体的性质可得：D1B⊥平面DA1C1，∴D1M是三棱锥D1-A1DC1的高．

不妨设正方体的棱长为1．

∵=，

∴=，

解得D1M==．

∴=2．

故答案为：2．

解：设正方体的边长为1，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），点，

则，而，，

∴，因此，

∴E=（λ，1-λ，1），∴，

对于①而言就是否存在实数λ，使EF∥BD，而=（-1，-1，0），，此即，这样的λ不存在，∴①错误；

对于②而言就是否存在实数λ，使EF⊥平面AB1C1D，首先我们在平面AB1C1D内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和，

∴，于是⇒，即就是当E为C1A1的中点的时候，∴②正确；

同理，对于③而言，还是判断这样的实数λ是否存在，，

设其夹角为θ，则，

令θ=60°，此即，将上式平方解得，将λ回代原式结论成立，∴这样的λ存在；③错误；

对于④来说，E点无论在A1C1上怎样移动，底面△ACE的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着E点的变化而变化，故④错误．

故答案为：②．

解：①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，由此条件可以得出，每一条棱都垂直于另外两条棱所确定的平面，由线面垂直即可即出PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB故命题正确；

②由顶点P作三棱锥的高，其垂足是△ABC的垂心，由PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，知三侧棱在底面的射影一定垂直于对边，故垂足是△ABC的垂心，命题正确；

③△ABC可能是钝角三角形，③△ABC不可能是钝角三角形，与实际图形不相符；

④相对棱中点的连线相交于一点，可在图形中用平行四边形对角线相交且互相平分证明出相对棱中点的连线相交于一点，故此命题正确．

综上知结论正确的有①②④

故答案为：①②④．

解：设正四棱锥为S-ABCD，

等腰△SAD的面积=1500÷4=375，

作SE⊥AD，交AD于E，则，

解得SE=25．

作SO⊥面ABCD，交ABCD于O，连接OE，

则SO==20．

故答案为：20．

解：∵三棱锥P-ABC的底面为等腰直角三角形，∠C=90°，PC⊥AC，PC⊥BC，

∴三棱锥P-ABC是正方体的一个角，

∴△ABP是一个边长为4的正三角形，

则△ABP的面积为==．

故答案为：．

解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，

则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，

∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，

∴l=2h，

设母线与轴的夹角为θ，

则cosθ==，

故θ=，

故答案为：．

解：由于底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，截面三角形，与原三角形相似，

所以截面圆的半径为1，则截面圆的面积为π．

答案：π