- 空间几何体
- 共15406题
①BF∥CE；
②CE⊥BD；
③三棱锥E-BCF的体积为定值；
④△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；
其中，正确结论的个数是（ ）
正确答案
解析
解：∵BC与AC1为异面直线，
∴BF与CE异面，故①错误；
对于②，∵ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体，
∴BD⊥平面ACC1，CE⊂平面ACC1，
∴CE⊥BD，故②正确；
对于③，VE-BCF=VB-ECF=
又在直角三角形ACC1中，点C到EF的距离为h=
∴S△ECF=
于是，VE-BCF为定值，故③正确；
对于④，EF在底面ABCD内的正投影在底面对角线AC上，其射影的长度为
综上所述，正确选项为②③④．
故答案为：C．
证明：空间四边形的内角和小于360度．
正确答案
证明：
∵平面四边形当然是四个内角了．
∴内角和为360°，
平面四边形沿对角线折叠，另外两个角不变，而挨着折叠的对角线的两个，故四个角的和＜360°
故空间四边形的内角和小于360度．
解析
证明：
∵平面四边形当然是四个内角了．
∴内角和为360°，
平面四边形沿对角线折叠，另外两个角不变，而挨着折叠的对角线的两个，故四个角的和＜360°
故空间四边形的内角和小于360度．
有下列命题：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．其中正确的命题的个数为（ ）
正确答案
解析
解：由棱柱的概念“有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱”判定③正确，①②错误；
由棱台的概念“用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台”判定④错误；
∴正确的命题是③．
故选：B．
若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）
正确答案
解析
解：若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，
则正六棱锥的侧面构成等边三角形，侧面的六个顶角都为60度，
∴六个顶角的和为360度，
这样一来，六条侧棱在同一个平面内，
这是不可能的，
故选D．
正确答案
4
解析
解：∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形；
又PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；
∴△PAC、△PAB是直角三角形；
又AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形；
∴四面体P-ABC的四个面中，直角三角形有4个．
故答案为：4．
半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ）
A
B
C2cm
D4cm
正确答案
解析
解：设圆的半径为R，圆锥的底面半径为r，高为h，最高处距桌面距离为：H
根据题意：2πr=πR
∴R=2r
∴h=
∴最高处距桌面距离：H=2
故选A
将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为______．
正确答案
解析
解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，
∵3π=
∴120°=
∴r=1，
∴圆锥的高是
∴圆锥的体积是
故答案为：
下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A：不正确，因为根据棱台的定义，要求棱锥底面和截面平行．
B：不正确，棱柱的底面一定是平行四边形，可以是任意多边形．
C：不正确，棱锥的底面一定是三角形，三棱锥的底面是三角形，其它不是．
D：正确：用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面，正确，经过球心的是大圆．
①BD∥平面CB1D1
②∠AC1C=∠AC1B1=∠AC1D1
③AC1⊥BD
④平面CB1D1⊥平面AB1D1．
正确答案
④
解析
解：①中，∵BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1正确；
②中，∵Rt△AC1C≌Rt△AC1B1≌Rt△AC1D1，∴∠AC1C=∠AC1B1=∠AC1D1正确；
③中，∵BD⊥AC，BD⊥CC1，且AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD正确；
④中，取B1D1的中点O1，连接AO1，CO1；则AO1⊥B1D1，CO1⊥B1D1，
∴∠AO1C是二面角A-B1D1-C的平面角；设正方体的棱长为1，则cos∠AO1C=
∴∠AO1C≠90°，∴平面CB1D1⊥平面AB1D1不正确；
故答案为：④．
在三棱锥P-ABC中，△PAB、△PBC、△PCA都为直角三角形，试指出△ABC的形状，并证明你的结论．
正确答案
证明：设：AP=a，BP=b，CP=c．
（1）当∠APB=∠APC∠=BPC=90°时，
△ABC为锐角三角形，因为：
AB2=a2+b2，AC2=a2+c2，BC2=c2+b2
AB2+BC2＞AC2，cosA＞0，则A为锐角，同理B，C也是锐角．
（2）当∠PAB=90°，∠APC=∠=BPC=90°时，
△ABC为直角三角形，因为：
AB2=b2-a2，AC2=a2+c2，BC2=c2+b2
AB2+BC2=AC2，cosA=0，则A为直角．
（3）当∠APB=90°，∠PCA=∠PBC=90°时，
△ABC为钝角三角形，因为：
AB2=b2+a2，AC2=a2-c2，BC2=c2-b2
AC2+BC2＜AB2，cosA＜0，则A为钝角．
解析
证明：设：AP=a，BP=b，CP=c．
（1）当∠APB=∠APC∠=BPC=90°时，
△ABC为锐角三角形，因为：
AB2=a2+b2，AC2=a2+c2，BC2=c2+b2
AB2+BC2＞AC2，cosA＞0，则A为锐角，同理B，C也是锐角．
（2）当∠PAB=90°，∠APC=∠=BPC=90°时，
△ABC为直角三角形，因为：
AB2=b2-a2，AC2=a2+c2，BC2=c2+b2
AB2+BC2=AC2，cosA=0，则A为直角．
（3）当∠APB=90°，∠PCA=∠PBC=90°时，
△ABC为钝角三角形，因为：
AB2=b2+a2，AC2=a2-c2，BC2=c2-b2
AC2+BC2＜AB2，cosA＜0，则A为钝角．
空间四点最多可确定平面的个数是（ ）
正确答案
解析
解：根据题意知，空间四点确定的直线的位置关系有三种：
①当空间四点确定的两条直线平行或有且只有三点共线时，则四个点确定1个平面；
②当四点确定的两条直线异面时，四点不共面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点，则四个点确定4个平面．
②当空间四点在一条直线上时，可确定0个平面．
故空间四点最多可确定4个平面．
故选：D
A不存在某个位置，使得直线AD与BE所成的角为
B存在某个位置，使得直线AD与BE所成的角为
C不存在某个位置，使得直线AD与平面ABEF所成的角为
D存在某个位置，使得直线AD与平面ABEF所成的角为
正确答案
解析
解：在旋转过程中，AB⊥平面EBC，由于二面角E-AB-C的大小为
∴∠EBC=
∴当AD在平面EBC中的射影与BE垂直时，直线AD与BE所成的角为
∴存在某个位置，使得直线AD与BE所成的角为
故选：B．
已知圆锥的母线与底面所成角为60°，高为3，则圆锥的侧面积为______．
正确答案
6π
解析
解：已知圆锥的母线与底面所成角为600，高为3，则圆锥的母线为2
所以圆锥的侧面积为：
故答案为：6π．
把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为______cm．
正确答案
13
解析
利用平行线截线段成比例，
则SA′：SA=O′A′：OA，即（y-10）：y=x：4x，
解得y=13
即圆锥的母线长为13
故答案为：13
如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是16πcm3，那么它的底面半径等于（ ）
A4
B4cm
C2
D2cm
正确答案
解析
解：设等边圆柱的底面半径为r，
则圆柱的高为2r，
由题意得πr2•2r=16π，r=2．
故选D．
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