- 空间几何体
- 共15406题
在空间四边形ABCD中，N，M分别是BC，AD的中点，则2MN与AB+CD的大小关系是______．
正确答案
AB+CD＞2MN
解析
∴MH=
∴MH+NH=
∴
∴AB+CD＞2MN．
故答案为：AB+CD＞2MN．
圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，
∴圆柱的高与母线长都为4，底面周长等于4
设底面圆的半径为r，可得2πr=4，得r=
因此该圆柱的体积是V=πr2h=π•（
故选：B
圆锥底面半径为1，高为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，
可得圆锥的轴截面SEF和正方体对角面CDD1C1，
设正方体棱长为x，则CC1=x，C1D1=
作SO⊥EF于O，可得S0=
∵△ECC1∽△EOS，
∴
解之得x=
故选：C
如果一个圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积是______．
正确答案
3π
解析
解：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为2，
则这个圆锥的表面积是
故答案：3π．
一圆锥的轴截面的母线与轴的夹角为
正确答案
解析
解：∵一圆锥的轴截面的母线与轴的夹角为
∴底面圆的半径为3sin
∴底面圆的周长为3
∵母线长为3，
∴圆锥侧面展开图的圆心角为
故答案为：
若一个棱锥的每条侧棱在底面上的射影相等，每个侧面与底面所成的角也相等，则此棱锥为（ ）
正确答案
解析
解：若一个棱锥的每条侧棱在底面上的射影相等，则此射影是底面多边形的外心；
又每个侧面与底面所成的角也相等，则此射影是底面多边形的内心；
故该棱锥的底面多边形的内心与外心重合，则其底面为正多边形，则其内心（外心）为底面多边形的中心，则顶点在底面上的射影是底面多边形的中心，符合正棱锥的定义，故B正确．
故选B．
已知四面体ABCD的棱长均为
AAC⊥BD
B若该四面体的各顶点在同一球面上，则该球的体积为3π
C直线AB与平面BCD所成的角的余弦值为
D该四面体的体积为
正确答案
解析
解：对于A，如图②：
在等边三角形BCD中，BM为CD边上的高，再在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，
则H为底面正三角形BCD的重心，
∴DB⊥AH，BD垂直于过CH的直线，CH、AH交于H，
∴BD⊥平面ACH，
∴BD⊥AC，
故A正确；
对于选项B，如图①：
将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，
正方体的对角线长为：
则此球的体积为：
故B错误；
对于选项C，如图②：
在等边三角形BCD中，BM为CD边上的高，再在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，
则H为底面正三角形BCD的重心，则∠ABH=α，就是AB在平面BCD所成角，
棱长为
则BM=
=
∴cosα=
故C正确；
对于D，如图②：
由选项C得：AH=
S△BCD=
VA-BCD=
故D正确；
故选：B．
已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S，则圆锥的底面面积是（ ）
A2S
B
C
D
正确答案
解析
解：设圆锥的母线长为L，底面半径为R
若圆锥的侧面展开图为半圆则：
2πR=πL
即L=2R
又∵圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S，
则圆锥的底面面积是
故选B．
分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1、V2、V3，则（ ）
AV1=V2+V3
BV12=V22+V32
C
D
正确答案
解析
解：设直角三角形的三边分别为a、b、c，a2+b2=c2，即c为斜边，
则以边c所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为V1，则V1 =
以边a所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为V2，则V2 =
以边b所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为V3，则V3 =
∴
故选：C．
正确答案
15π
解析
解：由题意可知，圆锥的母线长为：5，圆锥的侧面积是
故答案为：15π
一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角为______．
正确答案
解析
解：设母线长为l，因圆锥有三条母线两两垂直，
则这三条母线可以构成以它们为侧棱、以底面为边长为
故由正弦定理得，圆锥的底面直径2R=
∴圆锥侧面展开图的圆心角为：
故答案为：
正三棱锥的两个侧面所成二面角α大小的取值范围是______．
正确答案
60°＜α＜180°
解析
解：假设顶点无限趋近于底面的中心，那么这3个侧面就趋向一个平面，那夹角180°．
假设顶点无限远离，那么三个侧面都垂直于底面，底面边的夹角就是侧面二面角的大小为60°．
故答案为：60°＜α＜180°
已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，将其沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD，给出下列结论：①三棱锥A-BCD体积的最大值为
②三棱锥A-BCD外接球的表面积恒为定值；
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为
⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为
其中正确的结论有______（请写出所有正确结论的序号）．
正确答案
①②③④
解析
解：①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直，它的体积为
②三棱锥A-BCD外接球的半径为
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，连接AF，CF则AF=CF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥AC；
连接DE，BE，容易判断△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正确；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，则由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为
⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为
在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
作AE⊥BD，CF⊥BD，则AE=CF=
同理直角三角形ABC中，则EF=BD-DE-BF=
在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形，
则AH=EF=
FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60°，
即CH=CF=
由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，
即有AH⊥CH，
则AC=
故答案为：①②③④
正确答案
解析
∵E、F分别是SC和AB的中点，点D为BC的中点
∴ED∥SB，FD∥AC
而SB⊥AC，SB=AC=2则三角形EDF为等腰直角三角形
则ED=FD=1，即EF=
故答案为：
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为 r，由题意圆锥的轴截面是一个正三角形，
可知圆锥的侧面积为：πr•2r=2πr2．
圆柱的侧面积为：2πr
所以圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为：2
故答案为：
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