- 空间几何体
- 共15406题
四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，当四面体的体积最大时，其表面积为______．
正确答案
解析
解：△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，
△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为
∴S△ABC=S△BCD=
S△ABD=S△ACD=
∴当四面体的体积最大时，其表面积S=
故答案为：
圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆，则此圆锥的底面半径为 ______．
正确答案
2
解析
解：设圆锥的底面半径为R，则由题意得，2πR=π×4，即R=2，
故答案为：2．
若一棱台上、下底面面积分别是
A
B
C
D
正确答案
解析
解：棱台上、下底面面积分别是
不妨设棱台的高为2r，有相似比的性质可知，上部棱锥的高为2r，
根据相似比的性质可得：
故选C．
如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（ ）
A2
BS0=
C2S0=S+S′
DS02=2S"S
正确答案
解析
根据相似比的性质可得：
消去r，然后代入一个方程，可得2
故选A．
正确答案
解：如图以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体
∴CB=sin30°•AB=1，CA=cos30°•AB=
CO=
故此旋转体的表面积，S=π×OC×AC+π×OC×BC=π×
故此旋转体的体积V=
解析
解：如图以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体
∴CB=sin30°•AB=1，CA=cos30°•AB=
CO=
故此旋转体的表面积，S=π×OC×AC+π×OC×BC=π×
故此旋转体的体积V=
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交棱AA′于E，交棱CC′于F，则：
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E有可能是菱形；
④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
其中所有正确结论的序号是______．
正确答案
①③④
解析
解：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，
∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；
当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误，③正确；
当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．
故答案为：①③④．
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面面积是392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线和两底面的半径．
正确答案
并设圆台上底半径为r，则下底半径为3r，又由已知
可得∠EBC=45°
则BE=EC=2r．
∴392=
∴r2=49，2r=14．
∴BC=14
则圆台的高为14，母线长为14
解析
并设圆台上底半径为r，则下底半径为3r，又由已知
可得∠EBC=45°
则BE=EC=2r．
∴392=
∴r2=49，2r=14．
∴BC=14
则圆台的高为14，母线长为14
若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ）
正确答案
解析
解：∵圆锥的侧面积为：πrl，圆锥的底面面积为：πr2，
∴若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，
则圆锥的母线l是底面半径r的2倍，
即l=2r，
设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为α，
则
即α=180°，
故选：C
正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2，若直线AB1与平面ACC1A1所成角为45°，则棱柱的高为（ ）
A2
B2
C
D1
正确答案
解析
若直线AB1与平面ACC1A1所成角为45°，取C1A1的
中点D，连接DB1、AD所以∠B1AD=45°，
DB1=AD 因为底面边长为2，AD=
所以AA1=
故选C．
圆柱的侧面展开图是一个边长为2和4的矩形，则圆柱的体积为（ ）
A
B
C
D8
正确答案
解析
解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，
当母线为4时，圆柱的底面半径是
当母线为2时，圆柱的底面半径是
综上所求圆柱的体积是：
故选C．
一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（ ）
A1
B
C2
D2
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为r，
∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，
∴圆锥的母线长为3r，
又∵圆锥的表面积为π，
∴πr（r+3r）=π，
解得：r=
故圆锥的高h=
故选：B
周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为______．
正确答案
解析
解：∵矩形的周长为20cm
设矩形的长为xcm，则宽为（10-x）cm
设绕其宽旋转成一个圆柱，
则圆柱的底面半径为xcm，高为（10-x）cm
则圆柱的体积V=πR2•h=πx2（10-x）
则V′=-3πx2+20πx
令V′=0，则x=0，或x=
故当x=
此时V=
故答案为：
下列几何体中是旋转体的是（ ）
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
正确答案
解析
解：①圆柱是旋转体；
②六棱锥是多面体；
③正方体是多面体；
④球体是旋转体；
⑤四面体是多面体．
故选D．
正确答案
解析
解：设正方形ABCD的边长为1，可得
图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1
∴该圆锥的体积为V1=
图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，
∴该圆锥的体积为V2=
图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，
∴该圆锥的体积为V3=π×AB2×AD-V半球=π-
综上所述V1=V2=V3=
由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1：1：1．
故选：C．
已知某圆锥体的底面半径r=1，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为
正确答案
解析
解：由题意扇形的弧长为：
所求体积V=
故答案为：
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