- 空间几何体
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求证：（1）O为△ABC的垂心；
（2）O在△ABC内；
（3）设SO=h，则
正确答案
∴SA⊥平面SBC，BC⊂平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心．
（2）证明△ABC为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，
则底面三角形ABC中，AB=
用余弦定理求得cos∠ACB=
∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形．故O在△ABC内．
（3）SB•SC=BC•SD，
故SD=
∴
解析
∴SA⊥平面SBC，BC⊂平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心．
（2）证明△ABC为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，
则底面三角形ABC中，AB=
用余弦定理求得cos∠ACB=
∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形．故O在△ABC内．
（3）SB•SC=BC•SD，
故SD=
∴
已知正四面体ABCD（各面均为正三角形）的棱长为2，其内切球面上有一动点P，则AP的最小值为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设正四面体ABCD的棱长为a，高为h，每一个面的面积为S，其内切球的半径为r，
正四面体ABCD的棱长为2，如图，
则BE=
∴
∴正四面体内切球的直径为
则AP的最小值为
故选：A．
有六根细木棒，其中较长的两根分别为
正确答案
解析
不妨设AB=
所以较长的两条棱所在直线所成角为∠ABC，
由勾股定理可得：∠ACB=90°，所以cos∠ABC=
所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为 
当较长的两条棱所在直线异面时，
不妨设AB=
取CD的中点为O，连接OA，OB，
所以CD⊥OA，CD⊥OB，
而OA=OB=
故答案为：
向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟
正确答案
解析
解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h，V=
又V=
图知
∴V=
∴
∴h′=
h=5，t=
∴当h=5米时，水面上升速度为 
故答案为：
若正六棱锥P-ABCDEF的侧棱PA与底边BC成45°角，底面边长为a，则对角面面积最大的值是______．
正确答案
a2
解析
∵正六棱锥P-ABCDEF的侧棱PA与底边BC成45°角，
∴∠PAO=45°．
∵底面边长为a，
∴AO=PO=a，
AD=2a，
∴对角面面积最大的值：
S=
故答案为：a2．
如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；（2）锐角三角形；（3）钝角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形．那么可能成为这个四面体的第四个面是______．（填上你认为正确的序号）
正确答案
（1）（2）（4）（5）
解析
解：如果一个四面体的三个面是直角三角形，
第四面可能是直角三角形，
也可能是锐角三角形，
也可能是等腰三角形，
还可能是等腰直角三角形，
但是不能是钝角三角形．
故答案为：（1）（2）（4）（5）．
已知正四棱锥P-ABCD的高为4
正确答案
32
解析
解：
OE=
故答案为：32
正确答案
解：∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH，∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH．
同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形．
设AB=a，CD=b，∠FGH=α （a、b、α均为定值，其中α为AB与CD所成的角）．
再设FG=x，GH=y，由平面几何知识得 
两式相加得
∴截面面积S=FG•GH•sinα=
∵x＞0，a-x＞0，且x+（a-x）=a为定值，∴
∴当且仅当x=a-x，即x=
即当E、F、G、H分别为相应棱的中点时，截面面积最大．
解析
解：∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH，∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH．
同理可证EF∥GH，∴截面EFGH是平行四边形．
设AB=a，CD=b，∠FGH=α （a、b、α均为定值，其中α为AB与CD所成的角）．
再设FG=x，GH=y，由平面几何知识得
两式相加得
∴截面面积S=FG•GH•sinα=
∵x＞0，a-x＞0，且x+（a-x）=a为定值，∴
∴当且仅当x=a-x，即x=
即当E、F、G、H分别为相应棱的中点时，截面面积最大．
棱锥的底面面积为150cm2，平行于底面的截面面积为54cm2底面和截面距离为14cm，则这个棱锥高为______．
正确答案
35
解析
设棱锥的高PO=h，
∵截面A1B1C1∥面ABC，∴△A1B1C1∽△ABC．
又△PA1O1∽△PAO，△PA1B1∽△PAB．
∴
∴
根据面积比等于相似比的平方得：
解得：h=35（cm）．
故答案为：35．
（理科）设四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，其中它们的最大值为S，则
正确答案
解析
解：∵四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，
S表示它们的最大值
故当S1=S2=S3=S4时，
即
棱锥的高趋近0时，
S1+S2+S3+S4的值趋近2
∴S1+S2+S3+S4＞2S
故
故
故选B
圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的表面积为（ ）
正确答案
解析
解：根据圆柱表面积的计算公式可得π×2×1×2+π×12×2=6π．
故选D．
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．
正确答案
解：（1）连接OM，则OM⊥AB
设OM=r，OB=
∴S=4πr2=
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=
∴V=V圆锥-V球=
解析
解：（1）连接OM，则OM⊥AB
设OM=r，OB=
∴S=4πr2=
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=
∴V=V圆锥-V球=
若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是______．
正确答案
2π
解析
解：因为圆柱的侧面展开为正方形，所以圆柱的高等于底面周长=2πr，
则它的母线长和底面半径的比值是2πr：r，化简为2π．
故答案为：2π．
圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是______．
正确答案
解：设圆锥的母线长为l，
∵侧面展开图是一半圆，
∴πl=2πr，
∴r=
∵圆锥高是10cm，
∴（10）2+r2=l2，
解得：r=
∴母线l=
∴圆锥的侧面积为：2π×
故答案为：
解析
解：设圆锥的母线长为l，
∵侧面展开图是一半圆，
∴πl=2πr，
∴r=
∵圆锥高是10cm，
∴（10）2+r2=l2，
解得：r=
∴母线l=
∴圆锥的侧面积为：2π×
故答案为：
如图是一体积为72的正四面体，连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是______．
正确答案
解析
则正四面体的体积为
a=6
EF=
故答案为：
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