- 空间几何体
- 共15406题
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由对称性易知四边形MENF为菱形，
∴
∵EF=
∴
∴f（x）=2x2-2x+
故选：A．
（I）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．
正确答案
解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，
连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA=a，
在直角梯形ABDE中，
所以DE=3a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以
在Rt△CMF中，
所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）证明：因为
所以
（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则
即
因为
所以y0=2，x0=-2，
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与
所以θ=45°，
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．
解析
解：方法一：（I）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM．
（II）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连接CH交延长交ED于点F，
连接MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
因为MH⊥平面CDE，ED⊥MH，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，
则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．
设EA=a，
在直角梯形ABDE中，
所以DE=3a，
得△EMD是直角三角形，其中∠EMD=90°，
所以
在Rt△CMF中，
所以∠FCM=45°，
故CM与平面CDE所成的角是45°．
过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，
则A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a）．D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
（I）证明：因为
所以
（II）解：设向量n=（1，y0，z0）与平面CDE垂直，则
即
因为
所以y0=2，x0=-2，
直线CM与平面CDE所成的角θ是n与
所以θ=45°，
因此直线CM与平面CDE所成的角是45°．
A[
B[
C[
D[
正确答案
解析
解：根据观察可知：当M∈PA，N∈PC时，∠APC=90°，因此sin∠MPN可取得最大值1；
当M∈PB，N∈PC时，∠MPN=60°，因此sin∠MPN可取得最小值
∴sin∠MPN的取值范围是
故选：C．
若正六棱锥的底面边长是2，高为1，则其顶点到底面各边的距离为______．
正确答案
2
解析
G为AB的中点，连接OG，SG，
根据正六棱锥的性质：
正六棱锥的底面边长是2，高为1，
∴OS=1，OG=
∴SG=2，
故答案为；2
将函数
正确答案
8π
解析
解：根据题意，作出图象，可得
函数
和线段BC构成，其中A（-2，0），B（0，2），C（2，0）
因此，该图象绕x轴旋转一周，所得几何体是由半球和圆锥组合而成
半球的半径R=2，圆锥的底面半径为2，高等于2且母线长等于2
∵S半球=
∴所得几何体的表面积为S=S半球+S圆锥侧=
又∵V半球=
∴所得几何体的体积为V=V半球+V圆锥=
故答案为：
如图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：该几体的上部分是圆锥，下部分是圆台，
圆锥的轴截面是直角三角形，
圆台的轴截面是直角梯形，
∴这个几何图形是由直角三角形和直角梯形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．
故选A．
已知棱长为a的正四面体可以在一个单位正方体（棱长为1）内任意地转动．设P，Q分别是正四面体与正方体的任意一顶点，当a达到最大值时，P，Q两点间距离的最小值是______．
正确答案
解析
解：由题意可知，正四面体只需在单位正方体的内接球内，
即是正四面体是单位正方体的内接球的内接正四面体，如图：
先作正方体的内切球O，点H是右侧面的中心，在球O上，P为正方体的顶点，
内切球与体对角线交于点Q，此时PQ间的距离取得最小值，
因为正方体的棱长为1，则内接球的半径为
所以|PQ|=
故答案为：
一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为______cm．
正确答案
50
解析
并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O．
有图得：所求的最短距离是MB‘，
设OA=R，圆心角是α，则由题意知，
10π=αR ①，20π=α（20+R） ②，由①②解得，α=
∴OM=30，OB'=40，则MB'=50cm．
故答案为：50cm．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值是（ ）
正确答案
解析
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，
所以长方体的体对角线BD1=3；
设BD1的中点为O，因为E，F是BD1的三等分点，
所以OE=OF=
现以EF为直径作一个球，这个球与长方体的上下两个面相切于面的中心
（即该球与长方体的表面仅此两个公共点）；
因此，当G位于这两个公共点处时，∠EFG最大，
此时EF为直径，所以∠EFG=90°；
若G在长方体表面的其它位置时，则G必在该球的外部，∠EFG必小于90°；
所以∠EFG的最大值为90°．
故选：D．
根据下列对于几何结构特征的描述，说出几何体的名称：
（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形；
（2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形．
正确答案
解：（1）两个面互相平行且全等的五边形，则这两个面肯定是几何体的上、下底面，
其余各面是全等的矩形，则这些矩形是侧面，
符合直五棱柱的定义和结构特点，
故几何体的名称：直五棱柱；
（2）根据等腰三角形的对称性可知，
一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形，
相当于一个直角三角形绕着一直角边所在的直线旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形，
符合圆锥的定义和结构特点，故几何体的名称：圆锥．
解析
解：（1）两个面互相平行且全等的五边形，则这两个面肯定是几何体的上、下底面，
其余各面是全等的矩形，则这些矩形是侧面，
符合直五棱柱的定义和结构特点，
故几何体的名称：直五棱柱；
（2）根据等腰三角形的对称性可知，
一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形，
相当于一个直角三角形绕着一直角边所在的直线旋转360°形成的封闭曲面所围成的图形，
符合圆锥的定义和结构特点，故几何体的名称：圆锥．
已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，求圆台的底面半径．
正确答案
解：∵圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，上底面的半径为1，高为1，
∴如图所示，
∴圆台的下底面半径为1+1•tan45°=2．
解析
解：∵圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，上底面的半径为1，高为1，
∴如图所示，
∴圆台的下底面半径为1+1•tan45°=2．
6、如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（ ）
正确答案
解析
解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心．故选D．
下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面．
其中正确的个数是（ ）
正确答案
解析
解：如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．故根据几何体的定义，可知球没有顶点，有面，没有棱，故①④不正确，②③正确．
故选：B．
已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为
A
B
C
D4π
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为R，
∵侧面展开图的中心角为
∴R=1，圆锥的高为
∴圆锥的体积V=
故选：A．
如图，一圆锥内接于半径为R的球O，当圆锥的体积最大时，圆锥的高等于______．
正确答案
解析
则圆锥的底面半径r=
∴圆锥的体积V=
∵V‘=
∴由导数的性质知，当h=
故答案为：
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