- 空间几何体
- 共15406题
试构造出一个三棱锥S-ABC，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．
正确答案
解：如图，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，
则∠SAC=∠SAB=90°，
又AB⊥BC，所以BC⊥SB，
所以∠SBC=90°，
即四个面SAB，SAC，SBC，ABC为直角三角形．
解析
解：如图，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，
则∠SAC=∠SAB=90°，
又AB⊥BC，所以BC⊥SB，
所以∠SBC=90°，
即四个面SAB，SAC，SBC，ABC为直角三角形．
将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A
B2+
C4+
D
正确答案
解析
解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．
于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为
且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的
∴小正四面体的中心到底面的距离是 
所以可知正四棱锥的高的最小值为 （
故选 C．
（Ⅰ）求证：BC⊥AC1；
（Ⅱ）求三棱锥A-A1B1C1的高．
正确答案
∵AB⊥平面BCC1B1，
∴∠AC1B=30°．
∵AB=1，
∴
∵BC=1，CC1=2，
∴
即∠CBC1=90°．
∵CB⊥AB，CB⊥BC1，
∴CB⊥平面ABC1，
∴BC⊥AC1；
（Ⅱ）解：∵
∴三棱锥A-A1B1C1的高H=
解析
∵AB⊥平面BCC1B1，
∴∠AC1B=30°．
∵AB=1，
∴
∵BC=1，CC1=2，
∴
即∠CBC1=90°．
∵CB⊥AB，CB⊥BC1，
∴CB⊥平面ABC1，
∴BC⊥AC1；
（Ⅱ）解：∵
∴三棱锥A-A1B1C1的高H=
正确答案
解析
解：在平面ABCD中作线段MN∥AB，交AD、BC于点M、N；
在平面PAB中作EF∥AB，交PA、PB于点E、F；
使MN=EF．
则四边形EFNM为平行四边形；
这样的平行四边形显然可以做无数个，
且平行四边形所在平面可为α．
故选：D．
正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
延长A0到E，则E为BC的中点，连结PE，则PE为正三棱锥的斜高．
∵正三棱锥的底边长和高都是2，
∴AB=PO=2，
即AE=
∴斜高PE=
故选：D．
正确答案
解析
解：正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，
正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，
表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，
加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的表面积．
则S全=6×25-12+6×4×5-6×6=222．
故选C．
正四面体ABCD的棱长为1，G是△ABC的中心，M在线段DG上，且∠AMB=90°，则GM的长为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：M在AB垂直平分线上，
故选D．
已知圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm，高为3cm，求圆台的体积．
正确答案
解：∵圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm，高为3cm，
∴圆台的体积V=
解析
解：∵圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm，高为3cm，
∴圆台的体积V=
若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为______．
正确答案
3
解析
解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πrh=πr2h=12π，
∴r=2，h=3，
故答案为：3．
A1
B
C2
D
正确答案
解析
解：∵B1E⊥平面ABF，G在AB上．
∴B1E⊥BG，△B1EB≌△BGC，∴CG=BE，
∵CG=DF，BE+CE=1，
∴CE与DF的长度之和为1．
故选：A．
从正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点中任取两点连成直线，要求所得直线与AC1垂直，则这样的直线共有______条．
正确答案
6
解析
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵C1C⊥平面BCD，
BD⊂平面BCD，
∴C1C⊥BD，
又AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1，
∵AC1⊂平面ACC1，
∴AC1⊥BD．
同样A1B，A1D，B1D1，B1D，C1D都与AC1垂直．
故答案为：6
正确答案
解：在条件“等腰△ABC的顶角B=120°”下，
△ABC是不能唯一确定的，这样线段AB1也是不能确定的，
需要增加下列条件之一，可使AB1=2：
①CB1=2；
②CB=
③直线AB与平面α所成的角∠BAB1=arcsin
④∠ABB1=arctan2；
⑤∠B1AC=arccos
⑥∠AB1C=π-arccos
⑦AC=
⑧B1到AC的距离为
⑨B到AC的距离为
⑩二面角B-AC-B1为arctan2等等．
解析
解：在条件“等腰△ABC的顶角B=120°”下，
△ABC是不能唯一确定的，这样线段AB1也是不能确定的，
需要增加下列条件之一，可使AB1=2：
①CB1=2；
②CB=
③直线AB与平面α所成的角∠BAB1=arcsin
④∠ABB1=arctan2；
⑤∠B1AC=arccos
⑥∠AB1C=π-arccos
⑦AC=
⑧B1到AC的距离为
⑨B到AC的距离为
⑩二面角B-AC-B1为arctan2等等．
已知三棱台ABC-A1B1C1的上底面面积为a2，下底面面积为b2（a＞0，b＞0），作截面AB1C1，设三棱锥B-AB1C1的高等于三棱台的高，求△AB1C1的面积．
正确答案
解：连接BC1，如下图所示：
设三棱台的高为h，
则
=
=
∴
又∵上底面ABC的面积为a2，下底面面积为b2
∴
所以△AB1C1的面积为ab．
解析
解：连接BC1，如下图所示：
设三棱台的高为h，
则
=
=
∴
又∵上底面ABC的面积为a2，下底面面积为b2
∴
所以△AB1C1的面积为ab．
正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
SO⊥平面ABC，SA与SO的平面与平面SBC垂直，
球与平面SBC的切点在SD上，球与侧棱SA没有公共点
所以正确的截面图形为C选项．
故选C．
如果用半径为R=2
正确答案
3
解析
解：半径为R=2
圆锥的底面圆的周长为2
圆锥的底面半径为：
所以圆锥的高：
故答案为：3．
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