- 空间几何体
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已知圆台的上下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长______．
正确答案
5
解析
解：设圆台的母线长为l，
则圆台的上底面面积为S上=π•22=4π，
圆台的下底面面积为S下=π•62=36π，
所以圆台的底面面积为S=S上+S下=40π
又圆台的侧面积S侧=π（2+6）l=8πl，
于是8πl=40π，即l=5．
故答案为：5．
正确答案
解析
解：将展开图还原为正方体后，A、B、C是三个面上的相对顶点，即构成以面对角线为边的正三角形，
故∠ABC=60°，
故选B．
A平面A′FG⊥平面ABC
BBC∥平面A′DE
C三棱锥A′-DEF的体积最大值为
D直线DF与直线A′E不可能共面
正确答案
解析
解：∵△ABC是正三角形，∴A‘G⊥DE，DE⊥FG，∴DE⊥平面A′FG，DE⊂平面ABC，∴平面A′FG⊥平面ABC，故A正确
∵BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故B正确
当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′-DEF的高为A′G，而底面DEF的面积一定，
∴三棱锥A′-DEF的体积最大值为
∵A′∉平面ABC，由异面直线的判定定理，直线DF与直线A′E是异面直线，故D正确．
故选C．
①当0＜CQ＜
②当CQ=
③当CQ=
④当
⑤当CQ=1时，S的面积为
正确答案
①②③
解析
解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．
对于①，当0＜CQ＜
对于②，当CQ=
对于③，当CQ=
对于④，当
对于⑤，当CQ=1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为
综上，选①②③．
（1）求三棱锥D-ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
正确答案
∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=
设G为CD的中点，则CG=
∴
三棱锥D-ABC的表面积为
（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在这样的点N，
当CN=
连CM，设CM∩DE=O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO=
∴当CF=
解析
∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=
设G为CD的中点，则CG=
∴
三棱锥D-ABC的表面积为
（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在这样的点N，
当CN=
连CM，设CM∩DE=O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO=
∴当CF=
已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC′等于（ ）
A85
B
C
D50
正确答案
解析
解：如图，
可得
故
=42+32+52+2（4×3×0+4×5×
∴AC′=
故选：B．
如图的组合体的结构特征是（ ）
正确答案
解析
即三棱锥可得的组合体．
故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．
故选C．
正确答案
解析
解：棱锥P-ABCDEF底面是正六边形，所以AC⊥CD，
∠PCA是侧面PDC与底面所成二面角的平面角，A不正确；D不正确；
PC⊥CD，PC的长是点P到直线CD的距离，所以B正确；
EF不垂直AF，所以C不正确．
故选B．
设以AB=2a为直径的半圆上有一点P（如图所示），从P向AB引垂线，垂足为Q，求△APQ绕AB旋转一周，所得旋转体体积的最大值．
正确答案
解：设∠PAQ=θ，AB=2a，所以AP=2acosθ，AQ=2acos2θ，QP=2acosθsinθ，
所以以AB=2a为直径的半圆上有一点P（如图所示），从P向AB引垂线，垂足为Q，
△APQ绕AB旋转一周，所得旋转体体积为：V=
=
=
所得旋转体体积的最大值
解析
解：设∠PAQ=θ，AB=2a，所以AP=2acosθ，AQ=2acos2θ，QP=2acosθsinθ，
所以以AB=2a为直径的半圆上有一点P（如图所示），从P向AB引垂线，垂足为Q，
△APQ绕AB旋转一周，所得旋转体体积为：V=
=
=
所得旋转体体积的最大值
已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为______cm．
正确答案
10
解析
解：由题意知求球心到底面的距离，
实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离，
可以看做下面是一个正方体，正方体的棱长是6cm
上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为6的正方形，斜高是5，
则四棱锥的高是
∴球心到盒底的距离为6+4=10cm
故答案为：10．
已知正四棱锥P-ABCD的底面面积为16，一条侧棱长为
正确答案
解析
∵正四棱锥P-ABCD的底面面积为16
∴AE=
在直角三角形PAE中，
斜高PE=
故答案为：
正确答案
S1＞S2＞S3
解析
解：
∵OD是△BCO的BC边上的中线，
∴S△OBD=S△OCD=
即截面OAD将三棱锥O-ABC的体积分成两等分，可得S△OAD=S1，
∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥OB，OB⊥OC且OA⊥OC，
∵OB、OC是平面OBC内的相交直线，
∴OA⊥平面OBC，结合OD⊂平面OBC，得OA⊥OD．
∵Rt△OBC中，OB=b且OC=c，∴斜边BC=
因此S△OAD=
同理可得S2=
∵a＞b＞c＞0，
∴a2b2+a2c2＞a2b2+b2c2＞b2c2+a2c2，
可得
故答案为：S1＞S2＞S3
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．
正确答案
又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA．
由条件CD⊥PA，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD．
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C．综上得AE⊥平面PCD．
（Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM．
由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD．
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
由已知，可得∠CAD=30°．设AC=a，可得PA=a，
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，则
在Rt△AEM中，
所以二面角A-PD-C的大小
解析
又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA．
由条件CD⊥PA，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD．
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C．综上得AE⊥平面PCD．
（Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM．
由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD．
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
由已知，可得∠CAD=30°．设AC=a，可得PA=a，
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，则
在Rt△AEM中，
所以二面角A-PD-C的大小
正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ______．
正确答案
解析
解：因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，所以有以下两种情况，
①：2是下底面的周长，4是三棱柱的高，此时，下底面的边长为
所以正三棱柱的体积为4×
②：4是下底面的周长，2是三棱柱的高，此时，下底面的边长为
故答案为
如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（ ）
正确答案
解析
解：第一个正方体已知1，2，3第二个正方体已知1，3，4
第三个正方体已知2，3，5且不同的面上写的数字各不相同，
则可知1对面标的是5，2对面标的是4，3对面标的是6
故选D．
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