热门试卷

（1）证明：∵PD=a，AD=a，PA=a，

∴PD2+DA2=PA2，同理∴∠PDA=90°．

即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．

（2）连接BD，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC

∵PD⊥平面ABCD

∴PD⊥AC

∵PD∩BD=D

∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB

∴AC⊥PB∴PB与AC所成的角为90°

（3）设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE

∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB

∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角

∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB

∴PA⊥AB在Rt△PDB中，PB==a，

在Rt△PAB中，

∵S=PA•AB=•PB•AE

∴AE===a，AO=AC=a

在Rt△AOE中，sin∠AEO==，∴∠AEO=60°∴二面角A-PB-D的大小为60．

（4）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，

设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为RVP-ABCD=•S♢ABCD•PD=•a•a•a=a3S△PAD=S△PDC=•a•a=a2

S△PAB=S△PBC=•a•a=a2

S♢ABCD=a2

∵VP-ABCD=VS-PDA+VS-PDC+VS-ABCD+VS-PAB+VS-PBC

a3=R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+S♢ABCD)a3=R(a2+a2+a2+a2+a2)

∴(2+)a2=a3∴R==a=(1-)a

∴球的最大半径为（1-a）

（5）设PB的中点为F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD

在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC

∴FP=FB=FA=FC=FD∴F为四棱锥外接球的球心

则FP为外接球的半径∵FP=PB∴FP=a

∴四棱锥外接球的半径为a

（1）略

（2）

（1）证明：连并延长交于点，连并延长交于点，则易知，、 分别为、的中点，连、，则，，

∴                   …………3分

    又

    ∴

å面                                    5分

Ü面

（2）取的中点，连、，则得直角梯形

及面面，交线为

过作于点，则面

过作于，连，则

   ∴为二面角——的平面角            …………7分

设正方体的棱长为，易求：，

  ∴   ∴

二面角——的大小为                   …………12分

故答案为：（1）①⑦⑨；（2）⑧；（3）（11）；

（4）⑩；（5）（14）；（6）（12）（16）；（7）③⑥（15）；（8）②④（13）；（9）⑤．

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）为线段AE的中点，证明见解析。

（Ⅲ）arctan

本小题主要考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：

（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，

平面平面，

所以⊥平面

所以⊥。

因为为等腰直角三角形，，

所以

又因为，

所以，

即⊥，

所以⊥平面。………………………………4分

（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面

取BE的中点N，连接AN，MN，则MN∥＝∥＝PC

所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

所以PM∥平面BCE………………………………8分

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD

作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH

因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角

因为FA="FE," ∠AEF=45°,

所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=。

FG=AF·sinFAG=

在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

GH=BG·sinGBH=·=

在Rt△FGH中，tanFHG= =

故二面角F-BD-A的大小为arctan……………………………12分

解法二:

（Ⅰ）因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA="FE," ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°.

从而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE平面BCE,BC∩BE="B" ,

所以EF⊥平面BCE.

(Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.

从而=（，）.

于是

所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故PM∥平面BCE………………………………8分

(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）

=(1，1，0)，

    即

去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）

取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）

故二面角F-BD-A的大小为……………………………………12分

（1）证明见解析（2）存在（3）二面角的余弦值为

（1）由已知易得，．

∵ ， ∴ ，即．

又 ∵ 平面，平面，∴ ．

∵ ，∴ 平面．又∵ 平面， ∴ ．

(2) 存在．取的中点为,连结,则∥平面．证明如下：

取的中点为,连结． ∵，， ∴，且，

∴四边形是平行四边形，即．

∵ 平面，∴ 平面.

∵分别是的中点，∴ ．

∵ 平面，∴ 平面．∵ ，∴平面平面．

∵ 平面，∴平面．

（3）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有，，，，，，， 

由题意知，平面，所以是平面的法向量．

设是平面的法向量，

则，即．

所以可设．所以．

结合图象可知，二面角的余弦值为．

（1）

（2）64000

（3）证明见解析。

(1)侧视图同正视图,如下图所示.

　　　（２）该安全标识墩的体积为：

　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.

由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,  

又  平面PEG

又   平面PEG；