热门试卷

(1)证明见解析(2)2 (3)

（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA  又MN⊥AD  且PA∩AD=A

∴MN⊥平面PAD  ………………3分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  …………4分

（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA="A  " ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角 

即…………7分

在Rt△PBC中，PC=BC/sin∠BPC=

∴  ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN

∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角  …………12分

而

∴   …………14分

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在

（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），…………2分

B（2，2，0）   

设是平面BDE的一个法向量，

则由                 ………………4分

∵   …………5分

（2）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量.                                      ………………7分

设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知

∴

故二面角B—DE—C的余弦值为                                                   ………………10分

（3）∵

∴

假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，

则，

由                             ………………13分

∴                                                    ………………14分

即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF           ………………15分

用几何法证明酌情给分

（1）)当AB≤AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB>AD时，使∠PED=90°的点E不存在.（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点

(1)当AB≤AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB>AD时，使∠PED=90°的点E不存在.（只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）

（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点. 

连接BD，作AF⊥BD，垂足为F，连PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD为直角三角形，∴F点在BD上，∴∠PBF是锐角. 同理，点C也是其中一点.

(2)

证(1)：在三棱锥P-ABC中,∵ AB⊥AC, BP⊥AC，  ∴AC⊥平面ABP,

∴平面ABP⊥平面ABC． 

（2）．作PH⊥面ABC于H, 则H在AB上，连CH，则∠HCP=600      

 当H与A重合时CH最短，棱锥的高PH=CHtan600=CH最短

三棱锥P-ABC的体积V最小．此时，∠ACP=600, PH=AP=3

V=，∵, AB⊥AC，∴．

作，连，由三垂线定理知，可知是二面角A-PC-B的平面角．

在中，PC=6,PA=,AD=．在中可得，二面角A-PC-B的正切值为

(1)证明见解析；(2).

试题分析：（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值.

试题解析：(1)∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，

又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC

∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．

又CD’⊥ED’,且BE∩ED’=E,故CD′⊥面BED’                 4分

(2)法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC

垂足为F，连接D’M，D'F,则D'M⊥EC.

∵平面D'EC⊥平面BEC∴D'M⊥平面EBC

∴MF是D'F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得：D'F⊥BC

∴∠D'FM是二面D'-BC-E的平面角．    8分

在Rt△D'MF中，,

,

∴二面角D’-BC—E的余弦值为                    12分，

法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．

则

设平面BEC的法向量为；平面D'BC的法向量为

,

    取x2=l

得

∴二面角D'-BC-E的余弦值为      12分

（1）

（2）（）

略

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）利用线线平行证明线面平行，抓住直线PD∥B1A达到证明AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）采用体积分割技巧，将所求的几何体转化为直三棱柱的体积简单两个三棱锥的体积.

试题解析：（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PD．

由于BB1C1C是平行四边形，所以P为为B1C的中点

因为D为AC的中点，所以直线PD∥B1A，

又PDÌ平面B1CD，B1AË平面BC1D，

所以AB1∥平面BC1D．                                       6分

（Ⅱ）直三棱柱ABC－A1B1C1的体积V1＝×2×2×2＝4．

三棱锥C1－BDC的体积V2与三棱锥A1－BDA的体积V3相等，

V2＝V3＝×××2×2×2＝．

所以几何体BDA1B1C1的体积V＝V1－V2－V3＝．                  12分

证明：（1）

…………..2分

同理，……..3分

则四边形是平行四边形.

又

四边形是正方形. ……..4分

(2) 取中点，连接.

在梯形中， 且.

又且,

且.……………………..5分

四边形为平行四边形, ……………………..6分

. ……………………..7分

在梯形中, 

 , ……………………..9分

四点共面.          …………………….10分

（3）同（1）中证明方法知四边形BFGC为平行四边形.

且有，从而,

.     ……………………..12分

又故，而,

故四边形BFGC为菱形， .        ……………………..14分

又由知.

正方形中，，故.

.        ……………………..16分

略