热门试卷

(1)略

(2)

证明：（1）如图，取中点，连结，．………1分

∵，    

∴．       ………………………3分

又∵是正三角形，     

∴．       …………………………5分 

∵，

∴⊥平面．  …………………………6分

又∵平面，

∴⊥．        …………………………7分           

解：（2）∵是的中点，

∴．  ……………………………9分

∵平面⊥平面，，  

∴平面．                                  …………………………10分

又∵，，  

∴，即点到平面的距离为1．

∵是的中点，   

∴点到平面的距离为．                   ………………………………12分

∴            ………………………………14分

(1)

(2) 线段上存在一点，使得，且

解：以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则.…………2分

（I）.

则……4分

，即异面直线与所成的角为．…………6分

（II）假设线段上存在一点，使，设.

设，则，即，

.…………8分

.

，，，即.

即线段上存在一点，使得，且.…………12分

(1)略

(2)略

(3)存在

解：（1）证明：连结A1B,CD1 ∵AB1⊥A1B, AB1⊥BC,A1B∩BC=B ∴AB1⊥平面A1BCD1 , 又BF平面A1BCD1 ,所以AB1⊥BF

(2) 证明：取AD中点M，连结FM，BM             

∵ABCD为正方形，E,M分别为所在棱的中点，

∴AE⊥BM，又∵FM⊥AE，BM∩FM="M,             "

∴AE⊥平面BFM， 又BF平面BFM，∴AE⊥BF

(3) 存在，P是CC1的中点，则易证PE∥AB1，故A,B1,E,P四点共面

证明：由（1）（2）知AB1⊥BF，AE⊥BF，AB1∩AE=A，∴BF⊥平面AEB1，       

即BF⊥平面AEP

（1）略

（2）.

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，………4分

∴平面.   ……… 6分

（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，………8分

∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE//PD，，又∵，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.………12分

arctan2,

证明：（1）连AO, ∵⊿ABC为正三角形, ∴AO⊥BC.

又∵A1O⊥面ABC，∴A1O⊥BC，∴BC⊥面A1AO

∴面A1AO⊥面BCC1B1         ………4分

（2）过O作OE⊥AC于E，连A1E，

∵A1O⊥面ABC，

∴，∴∠A1EO即为所求的平面角.

∵正⊿ABC的边长为,∠A1AO=45°,

∴ ．

∴二面角A1—AC—B的大小为arctan2 ．             …………8分

（3）过D作DF//A1O交AO于F，则DF⊥面ABC，

连BF，要使BD⊥A1C1，只要使BF⊥AC，

∵⊿ABC为正三角形,

∴只要F为△ABC的中心即可，

∴时，BD⊥A1C1．            …………12分

（Ⅰ）

（Ⅱ）arcsin

本题主要考查立体几何中的主干知识，如线线角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识，本题属中等题。

（1）过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=，BD=BB′·sinBB′D=.

（Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l，知A′ACB′为矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，则由余弦定理，

BC=.

因BD平面，且DCCA，由三垂线定理知ACBC.

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.

因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

（Ⅰ）取中点，连接交于点，

，

，

又面面，

面，

。

，

，

，即，

面，

．

（Ⅱ）在面内过点做的垂线，垂足为．

，，

面，

，

则即为所求二面角．

，，

，

，

则，

。

(1) 略

(2)

（1）证明 ： 因为四边形AA1C1C是菱形，所以有AA1=A1C1=C1C=CA=1.从而知△AA1B是等边三角形. 设D是AA­1的中点、连结BD，C1D，则BD⊥AA1，由 =  

知C1到AA1的距离为∠AA1C1=60°，所以△AA1C1是等边三角形，

且C1D⊥AA1，所以AA1⊥平面BC1D. 又BC1平面BC1D，故AA1⊥BC1.

由（1）知BD⊥AA1，又侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，

即B到平面AA1C1C 的距离为BD. 又 =，BD=

所以 = =·BD=××=

故三棱锥A1-ABC的体积为

（1）略

（2）二面角E—BC—A的余弦值为

（3）多面体DE—ABC的体积为V=V1-V2=

解：方法一：（1）由题意知， 都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则

平面ACD平面ABC

平面ABC，作EF平面ABC，

那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，

，易求得

所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF；

平面ABC，平面ABC，

平面ABC…………4分

（2）作FGBC，垂足为G，连接FG；

平面ABC，根据三垂线定理可知，EGBC

就是二面角E—BC—A的平面角

即二面角E—BC—A的余弦值为…………8分

（3）平面ACD平面ABC，OBAC

平面ACD；又

平面DAC，三棱锥E—DAC的体积

又三棱锥E—ABC的体积

多面体DE—ABC的体积为V=V1-V2=…………12分

方法二：（1）同方法一

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，可求得平面ABC的一个法向量为，

平面BCE的一个法向量为，所以

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E—BC—A的余弦值为

（3）同方法一

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，

易证：且∥

于是，EF∥MD，而MDÌ平面PCD

所以EF∥平面PCD

（Ⅱ）以点为原点，建系，

易求得(1,1,0)、(，，)、(0，1，0)、(，0，0)，

从而分别求出平面和平面的法向量、，

从而算出二面角大小为．

6；6

依题意，得．

由②，③，得，．　④

由①，④，得，代入①，②，得，或，．

．

以C为原点建立空间直角坐标系

（I）B（0，a，0），N（a，0，a），

∴||==a．…（4分）

（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），

∴=（a，-a，2a），=（0，a，2a），

∴•=a×0+（-a）×a+2a×2a=3a2，…（8分）

||==a，

||==a，

∴cos＜，＞===．…（14分）

(1)见解析；（2）.

试题分析：(1)取PD中点G，连接AG、FG，证明即可；（2）由条件可得为等腰直角三角形，利用三棱锥的体积公式计算即可.

试题解析：：（1）当时，取PD中点G，连接AG、FG，则

∴且平面 ∴平面

（2）∵平面且 ∴为等腰直角三角形

∴