热门试卷

（1）  略

（2）  

方法一：（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，

可得四边形为矩形，又为矩形，所以，

从而四边形为平行四边形，故．因为平面，

平面，

所以平面．………6分

（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．

由平面平面，，得平面，

从而．所以为二面角的平面角．

在中，因为，，

所以，．又因为，所以，

从而，于是，因为所以当为时，二面角的大小为………12分

方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．设，

则，，，，．

（Ⅰ）证明：，，，

所以，，从而，，

所以平面．因为平面，所以平面平面．

故平面．………6分

（Ⅱ）解：因为，，所以，，从而

解得．所以，．设与平面垂直，

则，，解得．又因为平面，，所以，

得到．所以当为时，二面角的大小为．………12分

略

证明：（1）取CD的中点记为E，连NE，AE．

由N，E分别为CD1与CD的中点可得

NE∥D1D且NE=D1D， ………………………………2分

又AM∥D1D且AM=D1D………………………………4分

所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形

所以MN∥AE，  ………………………………6分

又AE面ABCD,所以MN∥面ABCD……8分

（２）由AG＝DE　，，DA＝AB

可得与全等……………………………10分

所以，      ……………………………………………11分

又，所以

所以，                     ………………………………………………12分

又,所以，  ……………………………………………………13分

又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG ……………………………………………14分

（1）在△PAD中，PA＝2，AD＝2，PD＝2，可得PA2+AD2＝PD2故AD⊥PA

又∵AD⊥AB，PA∩AB＝A

∴AD⊥平面PAB

（2）∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角。

在△PAB中，由余弦定理得PB＝＝

∵AD⊥平面PAB，∴BC⊥平面PAB

∴△PBC为直角三角形

故 tan∠PCB＝＝

异面直线ＰＣ与ＡＤ所成的角为arc tan

（3）过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连接PE。

∵AD⊥平面PAB  AD  平面ABCD

∴平面PAB⊥平面ABCD

又 PH⊥AB 则PH⊥平面ABCD

∴HE是PE在平面ABCD内的射影

∵BD⊥HE ∴BD⊥PE（三垂线定理）

故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角

PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1

BH＝AB－AH＝2，BD＝＝

由Rt△PEH∽Rt△BAD 得HE＝·BH ＝

在Rt△PHE中，tan∠PEH =  =

所以二面角P－BD－A的大小为arc tan

略

证明：（1） 连结D1C， MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.………………2分

又∵D1C∥A1B∴MN∥A1B.同理MP∥C1B.…………………………………………… 4分

而MN与MP相交，MN，MP面MNP，A1B，

A1B面A1C1B.∴面MNP∥面A1C1B.………………6分

证明：（2） 法1，连结C1M和A1M，设正方体的边长为a，

∵正方体ABCD—A1B1C1D1，∴C1M=A1M，

又∵O为A1C1的中点，

∴A1C1⊥MO………………………………………………8分

连结BO和BM，在三角形BMO中，

经计算知：∴OB2+MO2=MB2，

即BO⊥MO.而A1C1，BO面A1C1B，∴MO⊥面A1C1B.

…………………………………………………………12分

法2，连结AB1，B1D,B1D1,则O是B1D1的中点,

∵AD⊥面ABB1A1,A1B面ABB1A1,∴AD⊥A1B.

又A1B⊥A1B,AD和AB1是面AB1D内两条相交直线,  

∴A1B⊥面AB1D,…………………………………………8分

又B1D面AB1D,∴A1B⊥B1D.同理:BC1⊥B1D.                      第20题答案图（2）

又A1B和BC1是面A1BC1内两条相交直线,∴B1D⊥面A1BC1.………………………10分

∵OM是△D1B1D的中位线,∴OM∥B1D.∴OM⊥面A1BC1.…………………………12分

略

(1)过作的垂线，与的交于点，点就是   

满足条件的唯一点

(2)

解：（1）在线段上存在点，使．                      ……………………………1分

由等腰直角可知，对折后，，．

在中，，

∴，．                 ……………………………4分

过作的垂线，与的交于点，点就是   

满足条件的唯一点．理由如下：

连结，

∵，

∴平面，

∴，

即在线段上存在点，使．                    ……………………………6分

在中，，，得．……………7分

（2）对折后，作于，连结，

∵，，

∴平面，

∴平面平面．                                 ……………………………9分

∵，且平面平面，

∴平面．

而，所以平面，

即为二面角的平面角． ……11分

在中，，，

在中，，，得

．                      ……………………………12分

在中，，，                                         

即二面角的平面角的正切值等于．           ……………………………14分

（1）见解析   （2）    （３）-arctan

（1）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D

∴DN∥BB1∥AA1

又DN＝

∴四边形A1MND为平行四边形。

∴MN∥A1 D 又 MN 平面A1B1C1  AD1平面A1B1C1

∴MN∥平面--------------------------4分

(2)因三棱柱为直三棱柱，∴C1 C⊥BC，又∠ACB=90°

∴BC⊥平面A1MC1

在平面ACC1 A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，故C1H为C1点到

平面BMC的距离。

在等腰三角形CMC1中，C1 C=2,CM=C1M=

∴.--------------------------8分

(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F,则CE为BE在

平面ACC1A1上的射影，

∴BE⊥C1M, ∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,

在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,∴tan∠BEC=

∴∠BEC=arctan,∴∠BEF=-arctan

即二面角的大小为-arctan。--------------12分

（1）（2）见解析

(Ⅰ)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC="2." ---------------------------------3分

∴----------------------------7分

（Ⅱ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE---------------------------------------8分

证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形       ∴BD⊥AC

∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC-----------11分

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC 

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE ----------------------------------------------14分

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

证明：（1）连结AC，则AC⊥BD。

∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，

∴由三垂线定理得PC⊥BD。………………4分

（2）取PC的中点K，连结FK、EK，则四边形AEKF是平行四边形。

∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC。…………4分

（3）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，

连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

∴∠PHA为所求二面角P—EC—D的平面角。………………10分

∵E为AB的中点，AE//CD，∴AM=AD=2，

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得

………………14分

（1）证明见解析（2）

（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH∥AD∥EF，∴E，F，G，H四点共面,又H为AB中点，∴EH∥PB.又面EFG，PB面EFG，∴PB∥面EFG.………6分

（2）取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM∥BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角.

在Rt△MAE中，，同理，

又，∴在MGE中，

，

故异面直线EG与BD所成的角为.………………12分

（2）（3）

（I）略（II）

（I）当时，底面为正方形，

又因为,面…………………………2分

又面

…………………………3分

（II）因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，令，可得

则…………………4分

设，则

要使，只要

即………6分

由，此时。

所以边上有且只有一个点，使得时，

为的中点，且…………………………8分

设面的法向量

则即解得…………………………10分

取平面的法向量

则的大小与二面角的大小相等

所以

因此二面角的余弦值为…………………………12分