热门试卷

75cm

本试题主要是考查了正四棱台的高度求解的运用，结合体积公式得到。

先求解上底面和下底面的面积，然后结合体积公式得到高度。

解：由题意有，.

.

∴.

略

略

略

证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB="4," CD=2,且AB//CD，

所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形， ………2分

所以CF1//A1D，                   

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，

所以EE1//A1D，                       ………3分

所以CF1//EE1，                                  ………4分

又因为平面FCC，                        ………5分

平面FCC，                              ………6分

所以直线EE//平面FCC.                         ………7分

（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC1⊥AC,                     ………8分

因为底面ABCD为等腰梯形，AB="4," BC=2,

F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，

△BCF为正三角形，………10分

,△ACF为等腰三角形，且

所以AC⊥BC,                                     

又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,

所以AC⊥平面BB1C1C,                              ………12分

而平面D1AC,                                 ………13分

所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.             ………………………14分

（I）

（II）

解法一：

（I）设侧棱长为∴…………2分

得  …………3分

过E作EFBD于F，连AE，则AFBD。

为二面角A—BD—C的平面角  …………5分

…………7分

（II）由（I）知

过E作  …………9分

 …………11分

 …………12分

解法二：  

（I）求侧棱长部分同解法一。 …………3分

如图，建立空间直角坐标系，则

设是平面ABD的一个法向量。

由  …………5分

而是平面BCD的一个法向量，  …………6分

  …………7分

  …………8分

（II）…………9分

 …………12分

析：（1）取PD的中点为M，连结ME，MF，因为E是PC的中点，所以ME是△PCD的中位线．所以ME∥CD，ME＝．又因为F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，AB∥CD，AB＝CD，所以ME∥FB，且ME＝FB．所以四边形MEBF是平行四边形，所以BE∥MF．

连结BD，因为BE平面PDF，MF平面PDF，所以BE∥平面PDF．

（2）因为PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，所以DF⊥PA．

连结BD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，所以△DAB为正三角形．

因为F是AB的中点，所以DF⊥AB．

因为PA，AB是平面PAB内的两条相交直线，所以DF⊥平面PAB．

因为DF平面PDF，所以平面PDF⊥平面PAB．

（3）因为E是PC的中点，所以点P到平面EFD的距离与点C到平面EFD的距离相等，故＝＝，又＝×2×＝，E到平面DFC的距离h＝＝，所以＝××＝．

略

法一（Ⅰ）取的中点为，连接，

则，，且，…………………………3分

则四边形为平行四边形，

则，即平面．………………………………6分

（Ⅱ）延长交延长线于点，连接，

则即为平面与平面的交线，

且，

则为平面和平面所成的锐二面角的平面角．……8分

在中，．…………………………12分

法二 取中点为，连接，

以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，

，……………………2分

（Ⅰ）则，，

设平面的法向量为，

则，即………………4分

令，则，即，所以，

故直线平面．………………………………………………6分

（Ⅱ）设平面的法向量，

则．………………………………………………12分

略

（1）略

（2）

（3）存在点E使得二面角是直二面角

解法1:

（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

（2）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，

又由（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

（3）∵AE//BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角.

解法2:如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

设，由已知可得

.

（1）∵，

∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（2）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，

∴.

∴与平面所成的角的正弦值为.

（1）4（2）见解析（3）边DC上存在点N，满足DN=DC时，有NM⊥平面BDE

由题意，Ea⊥平面ABC , DC⊥平面ABC ,AE∥DC,ae="2," dc="4" ,ab⊥ac,

且AB=AC=2

（Ⅰ）∵Ea⊥平面ABC，∴ea⊥ab, 又ab⊥ac,

∴ab⊥平面acde

∴四棱锥b-acde的高h=ab=2，梯形acde的面积S= 6

∴，即所求几何体的体积为4

　                 ………………………………４分

（Ⅱ）证明：∵m为db的中点，取bc中点G，连接em,mG,aG，

 ∴ mG∥DC，且

∴ mG   ae，∴四边形aGme为平行四边形，

∴em∥aG,又AG平面ABC  ∴EM∥平面ABC.　　

……………………………………8分

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，em∥aG，

又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD

∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCD

在平面BCD中，过M作MN⊥DB交DC于点N,

∴MN⊥平面BDE 点n即为所求的点

∽

∴边DC上存在点N，满足DN=DC时，有NM⊥平面BDE.　　

解法2：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 A（0，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0）

D（－2，0，4），E（0，0，2），M（-1，1，2），

（2，2，-4），（2，0，-2），

（0，0，-4），（1，1，-2）.

假设在DC边上存在点N满足题意，

∴边DC上存在点N，满足DN=DC时，NM⊥平面BDE.……………………12分

（Ⅰ）平面

（Ⅱ）=

（Ⅲ）

解：（Ⅰ），得面

则平面平面，

由平面平面,

则在平面上的射影在直线上,

又在平面上的射影在直线上,

则在平面上的射影即为点,

故平面．        --------4分

（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，

∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，

则BN=，DN=2，∴折后图中BD=3，BC=3

∴N（0，，0），D（0，0，3），C（3，0，0）=（-1，0，0）

∴（-1，，0）（0，，-3）

∴=

∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为                          -----9分

法二．在线段BC上取点M，使BM=BF，则MN∥BF

∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角．

又MN=BF=2，DM=．

∴

∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为

（Ⅲ）∵AD∥EF，  ∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，

∴

即所求三棱锥的体积为                              ------14分