热门试卷

略

(1)略

(2)

（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在面上，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面． …………4分

（2）∵平面，平面， ∴…………………5分．

（1）略

（2）取中点

解：（Ⅰ） -------------------------1分

作交于一点,则---2分

平面平面面---3分

所以---4分

（Ⅱ）平面平面,,

平面平面=，

平面，

平面， ,………　6分

又为圆的直径，，

平面．………　7分

面,平面平面；………　8分

（Ⅲ）取中点记作,设的中点为，连接,

则，又，则，

所以为平行四边形，             ………　10分

，又平面，平面，

平面．………　12分

解：解法一：(Ⅰ)在菱形ABCD中，连接DB，则△BCD是等边三角形.

∵点E是BC边的中点

∴DE⊥BC.

∵PO⊥平面ABCD，

∴OD是斜线PD在底面ABCD内的射影.

∴PD⊥BC.                                         (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥BC，

菱形ABCD中，AD∥BC，

∴DE⊥AD.

又∵PO⊥平面ABCD，DE是PD在平面ABCD的射影，

∴PD⊥AD.

∴∠PDO为二面角P－AD－C的平面角.

在菱形ABCD中，AD⊥DE，由(1)知，△BCD为等边三角形，

∵点E是BC边的中点，AC与BD互相平分，

∴点O是△BCD重心.

∵AB＝6，

又∵在等边△BDC中，

DO＝DE＝·BC＝×6＝6.

∴OC＝OD＝6.

∵PC＝6，∴PO＝6.

∴在Rt△POD中，tan∠PDO＝＝＝1.

∴∠PDO＝.

∴二面角P－AD－C的大小为.                              (9分)

(Ⅲ)取AD中点H，连接HB，HP.

则HB∥DE.

∴HB与PB所成角即是DE与PB所成角.

连接OH，OB.

∵PO⊥平面ABCD，OH，OB⊂平面ABCD，

∴PO⊥OH，PO⊥OB.

在Rt△DOH中，HD＝3，OD＝6，

∴OH＝3.

在Rt△PHO中，PH＝＝.

在Rt△POB中，OB＝OC＝6，PB＝＝6.

由(Ⅱ)可知DE＝HB＝9.

设HB与PB所成角为α，

则cosα＝＝.

∴异面直线PB、DE所成角的余弦值为.                                    (13分)

解法二：(Ⅰ)同解法一；                                    (4分)

(Ⅱ)过点O作AD平行线交AB于F，以点O为坐标原点，建立如图的坐标系.

∴A(6，－6,0)，B(3，3,0)，C(－3，3,0)，

D(0，－6,0)，P(0,0,6).

∴＝(－6，0,0)，＝(0，－6，－6).

设平面PAD的一个法向量为s＝(a，m，n).

则

即

∴

不妨取s＝(0，－1,1).

∵＝(0,0,6)是平面ADC的一个法向量，

∴cos〈s，〉＝＝.

∴二面角P－AD－C的大小为.                                 (9分)

(Ⅲ)由已知，可得点E(0,3,0).

∴＝(3，3，－6)，＝(0,9,0).

∴cos〈，〉＝＝.

即异面直线PB、DE所成角的余弦值为.  

略

（1）  略

（2）  

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                           …………………2分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC1，又平面BCC1        ……………………………………4分

∴ AC⊥BC1            ………………………………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接        …………6分

是中点，

∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴

∴ 又且

∴平面，平面        ………8分

∴  又

∴是二面角的平面角     ……………………………………10分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在中，，，

∴      …………………………………………11分

∴二面角的正切值为 …………………………………………12分

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，    …………………8分

设平面的法向量，

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小  …………9分

则由  令，则，∴                                         ………………10分

  　……………11分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的余弦值为   ………………………… 12分

（1）略

（2）

（3）

⑴证明：因为面面，交线，面，       

所以面.      2分

故 ，       又 ，  .

所以面.……………4分

（2）解：由⑴得两两互相垂直，

故可以以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则

.

……………………………………6分

，

.

即异面直线与所成的角的余弦值为.……………………8分

⑶解：若为线段上的一点，且（点与点重合时不合题意），

则.………………………………9分

设平面和平面的法向量分别为，

由得,

 即

所以为平面的一个法向量，

同理可求得为平面的一个法向量. ………… 11分

当，即时平面平面，

故存在这样的点，此时. ………………………………12分略

（I）略

（II）平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是

（III）当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于

解：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，                                             …………（2分）

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                   …………（4分）

（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵，则PO平面ABCD．

连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，

…………（6分）

∵PA=PD，∴，

得，

，故，

设平面EFG的一个法向量为则，

，                                         …………（7分）

平面ABCD的一个法向量为

平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是；                …………（8分）

（III）解：设，M（x，，0），则，

设MF与平面EFG所成角为，

则，

或，∵M靠近A，∴                              …………（10分）

∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．         …………（12分）

方法2：（I）证明：过P作P OAD于O，∵， 则PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，                                                         …………（2分）

∵PA=PD，∴，

得，

，

故，

∵，

∴EF平面PAD；                                              …………（4分）

（II）解：，

设平面EFG的一个法向量为 

则， ，      …………（7分）

平面ABCD的一个法向量为……【以下同方法1】

方法3：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，                …………（2分）

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；       …………（4分）

（II）解：∵ EF//HG，AB//HG，∴HG是所二面角的棱，

…………（6分）

∵HG // EF，∴平面PAD， ∴DHHG，EHHG，

∴EHA是锐二面角的平面角，等于；                       …………（8分）

（III）解：过M作MK⊥平面EFG于K，连结KF，

则KFM即为MF与平面EFG所成角，                          …………（10分）

因为AB//EF，故AB/平面EFG，故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，∵平面PAD，∴平面EFGH平面PBD于EH，

∴A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于，即MK，

∴，，在直角梯形中，，

∴或∵M靠近A，∴                     …………（11分）

∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．     …………（12分）

略

（1）该组合体的主视图和侧视图如右下图示

（2）

（3）见解析

（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分

(2)∵平面，平面

∴平面平面ABCD

∵ ∴BC平面----------5分

∵--6分

∴四棱锥B－CEPD的体积

.----8分

(3) 证明：∵，平面，

平面

∴EC//平面,------------------------------------10分

同理可得BC//平面----------------------------11分

∵EC平面EBC,BC平面EBC且 

∴平面//平面-----------------------------13分

又∵BE平面EBC  ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分

（1）证明见解析（2）（3）

（1）                     …4分

（2）AD∥BC∠PCB（或其补角）为异面直线PC与AD所成角

……………………………………8分

（3）作

           为二面角的平面角…………………………10分

        …………………………………………12分

(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)  (Ⅲ)

(Ⅰ)取中点，连、，则

面，  

又

     ……………3分

(Ⅱ)设在底面的射影分别为,则

由所给的三棱锥均为正三棱锥且两三棱锥全等,

故∥,且=,∴四边形为平行四边形,

∴∥,又分别为△,△的中心,

∴在菱形的对角线上,

∴∥,即∥平面…………………………………5分

设平面与平面的交线为,取中点连结,

由

∴为平面与平面所成二面角的平面角

…………………………7分

在△中, ,

∴，

∴……………………………9分

(Ⅲ设、在和上的射影为，则均在直线上，且为平行四边形，。

为四棱锥                       设，则，又，由（1）知

即

面，，又面。

设四棱锥的高为，且    

 在中，

                   ……………13分

（1）（2）见解析（3）当与重合即为边的中点时，使

（1）该几何体的直观图为平放正三棱柱且体积为...........4分

（2）取的中点分别为，连接，由正三棱柱的性质得，又，为的中点,  ∴

∴四边形为平行四边形   ∴

由正三角形的边的中点      ∴

又由正三棱柱的性质得, ∴且 ∴   ∴

又 ∴……………………10分

（3）由（2）知，且∴

故当与重合即为边的中点时，使………….16分