热门试卷

解：法一：（I）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，

得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．   

∴AB∥平面DEF．  ………………………………………………3分

（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  

∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角，   …………………………………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．  ……………………………………8分

（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE    ……………………………9分

证明：在线段BC上取点P，使，过P作PQ⊥CD与点Q，

∴PQ⊥平面ACD   ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．          …………………………………………12分

法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，，

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

则即

所以二面角E—DF—C的余弦值为．     …………………………8分

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为

设

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．      …………………12分   

略

(1)略

(2)

证明：（Ⅰ）∵,,,点为中点.

∴,,，∴.

又面,面，∴,

而,∴平面

∵平面，∴平面平面. 

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,

∴为二面角的平面角,即,

在中,,

,.

以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

其中,,,,

,,设为平面的一个法向量,则

,∴即 

令,得平面的一个法向量,则,

又, ∴,

∴,

即.

(1)略

(2)

（1）略

（2）

方法一、传统几何

（1）MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ANCD，由直角三角形易得：AM=AN=MN=NC=MC=，E是MN中点，可得AE⊥MN，CE⊥MN，又AE∩EC=E从而MN⊥平面AEC；

（2）这里也有多种方法：

连接BD交AC与点O，底面是正方形得AC⊥BD，OE//MD推得OE⊥AC，得AC⊥平面MDBN，所以∠MON就是二面角M－AC－N的平面角，在矩形MDBN中根据长度可以求得cos∠MON=。

（亦可把二面角M－AC－N，拆成两个二面角M－AC－E和E－AC－N；或者抽取出正四面体MNAC，再求侧面与地面所成角；或者求平面ACN的垂线MB和平面ACM的垂线DN之间的夹角）

方法二、向量几何

MD⊥平面ABCDMD⊥DA，MD⊥DC，又底面ABCD为正方形DA⊥DC，故以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，如图建立空间直角坐标系。

则各点的坐标A（1，0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），M（0,0,1），N（1,1,1），

E（，，1）                            ……3分

（1） ·=…=0MN⊥AE；

·=…=0MN⊥AC

又AC∩AE=E，故MN⊥平面AEC；      ………7分

（2）不妨设平面AMC的法向量为=（1，y，z），平面ANC的法向量为=（1，m，n） 则由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标解得=（1,1,1）---9分

由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标运算得=（1,1，－1）--11分

Cos<,>==                             -------12分

（1）证明：由面.，，所以 

又 ，所以 

（2）取中点，连结，则，且，

所以是平行四边形，，且

所以面;

（3）

过作，交于，由题得

在中，f

所以

所以

略

解：取BC的中点D，连结PD，AD，∵ PB =PC，∴ PD⊥BC

　　∵ PA⊥平面ABC，由三垂线定理的逆定理得 AD⊥BC

　　∴ ∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角

　　∵ PB = PC = BC =" 6"  ，∴ PD = 

　　sin∠PDA=  即二面角P-BC-A的正弦值是

略

(Ⅰ)证明：根据正方体的性质，…………………………………………2分

因为，所以，又

所以，，所以^；…………………………………5分

(Ⅱ)证明：连接，因为，

所以为平行四边形，因此

由于是线段的中点,所以，…………………8分

因为面，平面，

所以∥平面……………………………………10分

(Ⅲ) ……………………………………………12分

略

（本小题满分14分）

(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

（1）证明:连接,设与相交于点,连接,

∵ 四边形是平行四边形,

∴点为的中点.                   

∵为的中点，

∴为△的中位线,

∴ .                   …… 3分

∵平面,平面,

∴平面.             …… 6分

(2)解法1: ∵平面,平面,

∴ 平面平面，且平面平面.

作，垂足为，则平面，                      …… 8分

∵，，

在Rt△中，，，

…… 10分

∴四棱锥的体积             …… 12分

.

∴四棱锥的体积为.                                     …… 14分

解法2: ∵平面,平面,

∴.

∵,

∴.

∵,

∴平面.        …… 8分

取的中点,连接,则,

∴平面.

三棱柱的体积为,                   …… 10分

则,.

…… 12分

而,

∴.      ∴.

∴四棱锥的体积为.                                       …… 14分

略

解析：（1）……1分

取的中点，连∥

因为所以面………3分

从而………………………………5分

由（1）（2）可得面……………………6分

（2）作∥交于，如图，建立直角坐标系

……………………………………………8分

设平面的法向量为

………………………………………………10分

与面所成角的正弦值＜|=…………………………12分

略

（1）证明略

（2）证明略

（3）45°

略

(1)略

(2)

(3)

（I）证明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，

又面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，              …………2分

ABCD是正方形，所以CD//AB，

又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，…………3分

所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，

所以C1D//平面ABB1A1                                  …………4分

（II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD

因为A1D⊥平面ABCD，

所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz，           …………5分

在中，由已知可得

所以，

            …………6分

因为A1D⊥平面ABCD，

所以A1D⊥平面A1B1C1D1

A1D⊥B1D1。

又B1D1⊥A1C1，

所以B1D1⊥平面A1C1D，                                 …………7分

所以平面A1­C1D的一个法向量为n=（1，1，0）            …………8分

设与n所成的角为，

则                   

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为            …………9分

（III）解：平面A1C1A的法向量为 

则 所以  

令可得                           …………11分

则

所以二面角的余弦值为              …………12分

（I）证明略；

（II）

方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，                                           …………（4分）

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                  …………（6分）

（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵，则PO 平面ABCD．

取AO中点M，连OG，,EO,EM,

∵EF //AB//OG,

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线…………（8分）

又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,

故OGEO ∴ 即为所求      …………（11分）

 ，EM＝ＯＭ＝１ 

∴tan＝故 ＝              

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是  …………（14分）

方法2：（I）证明：过P作P O　AD于O，∵，

则PO 平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，………（2分）

∵PA＝PD　，∴，

得，

， 　　　　 …………（4分）

故，

∵，

∴EF　平面PAD；                        …………（6分）

（II）解：，

设平面EFG的一个法向量为 

则， ，   …………（11分）

平面ABCD的一个法向量为……（12分）

平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是；             …………（14分）

（1）略

（2）略

（3）三棱锥C-BGF的体积为

解：（1）∵   又知四边形ABCD是矩形，故AD//BC

∴    故可知  ………….1分

∵  BF平面ACE  ∴ BF AE  …………………………………………2分

又

∴ AE平面BCE ………………………………………………………………4分

（2） 依题意，易知G为AC的中点

又∵  BF平面ACE  所以可知 BFEC， 又BE＝EC

∴ 可知F为CE的中点 ……………………………………………………………5分

故可知 GF//AE  ……………………………………………………………………6分

又可知

∴ AE//平面BFD……………………………………………………………………..8分

(3) 由（1）可知AE平面BCE，又AE//GF

∴ GF平面BCE……………………………………………………………………9分

又     所以GF的长为三棱锥G－BCF的高  GF＝.  ....10分

………………………………………………11分

∴

∴ 三棱锥C-BGF的体积为……………………………………………………..12分