热门试卷

（Ⅰ）略

（Ⅱ）时，三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.   

证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，

∴BC⊥AC, ∵AA1⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA1⊥BC，

∵AA1∩AC=A，AA1Ì平面AA1 C，ACÌ平面AA1 C，

∴BC⊥平面AA1C. （3分）

(2)设AC=x，在Rt△ABC中， (0

故(0）

即.

∵02<4，∴当x2=2，

即时，三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.　　（８分）

（I）

（II）二面角P—AB—C的大小为

解：

（I）如图1，作PO⊥AC，垂足为O，连结OB，

由已知得，△POC≌△BOC，则BO⊥AC。

，

  ………………3分

∵平面PAC⊥平面BAC，∴PO⊥平面BAC，∴PO⊥OB，

 ………………6分

（II）方法1：如图1，作OD⊥AB，垂足为D，连结PD，由三垂线定理得，PD⊥AB。

则∠PDO为二面角P—AB—C的平面角的补角。 ………………8分

二面角P—AB—C的大小为 ………………12分

方法2：如图2，分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系

O—xyz，则

令 ………………9分

又为面ABC的法向量。  ………………10分

易知二面角P—AB—C的平面角为钝角，

故二面角P—AB—C的大小为 ………………12分

（1）略

（2）略

（3）

(1) 证明：∵∥,且

,∴∥ …4分

(2) 证明：连接，在正方形中，

又,,∴

,∴

又,∴  …5分

(3) 解：为三棱锥的高，且，

, ∴

而

设蜜蜂在长方体中飞入三棱锥内为事件.

则 …5分

（1）同解析（2）（3）

（1）由条件得

                    (4分)

（2）取的中点 ，连接.则，

或其补角为所成角

,

                                   (8分)

(3) 设到面的距离为，过作，则.

, .

                                                      (12分)

（1）见解析（2）arctan2

（1）设H为AC与BD的交点，连结EH，则EH为△PAC的中位线

∴EH//PA,又∵EH平面EBD ,PA平面EBD

∴PA//平面EBD           -------------------------------------4分

(2)∵O为AD的中点，PA=PD

∴POAD,又∵POAB

∴PO平面ABCD,连结CO交BD于Q

∴POCO,过E作EFCO于F

∴EF//PO,∴EF平面ABCD      ----------------------------8分

过F作FGBD于G,连结GE,则EGBD,

∴EGF为二面角E-BD-C的平面角    --------------------------10分

∴EGF="arctan2                   " --------------------------12分

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）

证：(1)∵F、G分别为EB、AB的中点，

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，

∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.

易求.

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）两部分体积的比为1∶2或2∶1

(1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．

由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．

（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．

由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．

又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．

（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则

h1∶h2=EP∶AP=2∶3,

故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1

（Ⅰ）略

（Ⅱ）略

（Ⅲ）四面体D1B1AC的体积

解：（Ⅰ）证明：连  

四边形是平行四边形     ………2分

则 

 又平面，平面

//平面                        ………5分

（Ⅱ） 由已知得

则                            ………6分

由长方体的特征可知：平面

而平面， 则                 ………9分

平面 又平面

平面平面                            ………10分

（Ⅲ）四面体D1B1AC的体积

                          ………14分

（1）见解析

（2）二面角的大小为

①证明: ∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，

∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，

∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2；

在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点，

∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，

DE＝BE＝，由勾股定理知 DF⊥EF，BF⊥EF，

∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，

由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，

∴平面BEF⊥平面DEF ………………（6分）

⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，

∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，

又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，

∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。

易求得，；

在Rt△中，可求得，

∴在△中，由余弦定理求得，

∴ ……………………………（12分）

解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；

建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则

,,,,

∴，，…(2分)

设平面BEF、平面DEF的法向量分别为

，则

 ①

 ②， ③, ④.

由①③③④解得,∴,…（4分）

∴，∴，故平面BEF⊥平面DEF…………（6分）

⑵设平面ABF的法向量为，∵，

∴，，解得

∴，………（8分）∴……（10分）

由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为

（Ⅰ）（Ⅱ）

（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE

∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知：PE⊥CD

∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角

在中，

在中，∴二面角P—CD—A的正切值为

（II）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB

∴AH⊥平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离

在等腰直角三角形PAB中，，所以点A到平面PBC的距离为

（1）见解析（2）（3）

（1）取AC中点O，∵△PAC为等边三角形，∴PO⊥AC，又∵面PAC⊥面ABC，PO面PAC，

∴PO⊥面ABC，连结OD，则OD//BC，

∴DO⊥AC，

由三垂线定理知AC⊥PD.

（2）连接OB，过E作EF⊥OB于F，

又∵面POB⊥面ABC，∴EF⊥面ABC，

过F作FG⊥AC，连接EG，由三垂线定理知EG⊥AC，

∴∠EGF即为二面角E—AC—B的平面角

在在

∴ 

（3）由题意知

又

即.

(1) (2) PC与BD所成角的余弦值为 (3)证明略

 因为PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=. 

∴PC=.

(2)解: 如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角.

∵CE=BD=，且PE=

∴由余弦定理得

cosPCE=

∴PC与BD所成角的余弦值为.

(3）证明:设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，

则GF∥BC∥AD，且GF=BC=1=AD，

从而四边形ADFG为平行四边形，

又AD⊥平面PAB，∴AD⊥AG，

即ADFG为矩形，DF⊥FG.

在△PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，

∴DF⊥PC

从而DF⊥平面PBC，故平面PDC⊥平面PBC，

即二面角B—PC—D为直二面角.

另法（向量法）: (略)

（1）略（2）

证：（1）连接交于点，                 ……（1分）

在平行四边形中，

有，又                                          ……（3分）

∴为的中位线，从而，                         

又平面∴直线平面；                          ……（5分）

（2）过作于，则平面，过作，连接，

为二面角平面角，                               ……（7分）

由，则，

则可得，

过作于，则                               

，                                     ……（10分）

∴．                                        ……（12分）

（1）证明略（2）BD与平面ADMN所成的角为30°

（1） ∵N是PB的中点，PA=PB，

∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.              4分

又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.

∵DM平面ADMN，∴PB⊥DM.                         7分

（2） 连接DN，

∵PB⊥平面ADMN，

∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，                 10分

在Rt△BDN中，

sin∠BDN===，                            12分

∴∠BDN=30°,

即BD与平面ADMN所成的角为30°.                       14分