热门试卷

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；

试题分析：（Ⅰ）主要利用线面垂直可证线线垂直；（Ⅱ）通过作作垂线转化到三角形内解角；

试题解析：（Ⅰ）证明：且是平面内两条相交直线

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

平面平面,且

过作平面的垂线，垂足必在上        

是与平面做成的角，

且   是等边三角形

即,   是等腰直角三角形

设,且,

四棱锥的高

设直线与平面所成的角为，则

(1)见解析 (2) 见解析(3)

（1）在等边三角形中， 

,在折叠后的三棱锥中

也成立， ,平面，

平面，平面；

（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.

 在三棱锥中，，②

；

（3）由（1）可知，结合（2）可得.

解决折叠问题，需注意一下两点：1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变；2.折前折后的图形结合起来使用.本题第一问关键是利用相似比在折叠完以后没有变化，达到证明目的；第二问中借助勾股定理和不变的垂直关系，借助线面垂直的判断定理证明；第三问利用体积转化，充分借助第一问的平行关系和第二问的垂直关系进行求解.

【考点定位】线面平行于垂直、几何体的体积问题.

解：定理叙述：

若一条直线垂直于一个平面内两条相交直线，则该直线与此平面垂直。   

证明：已知：直线,, 

求证：         

证明：设p是平面内任意一条直线，则只需证

设直线的方向向量分别是

只需证

 与不共线

 直线在同一平面内，

根据平面向量基本定理存在实数使得

则

所以直线垂直于平面                  

略

解:（Ⅰ）设AC与BD相交于G,连结GF．

正方形ABCD,,又,

,………………………………………2分

平面ACF,平面ACF,

平面ACF………………………………3分

（Ⅱ）解法一:过E点作EH⊥AD,垂足为H,连结BH………．1分

平面CDE,,又,,

平面ADE,,,平面ABCD,

所以是直线BE与平面ABCD所成的角……………………．4分

Rt中,AE=3,DE=4,．,

所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为．．．．．．4分

解法二:平面CDE,,又,,

平面ADE, ,,．．．．．．．．4分

Rt中,AE=3,DE=4,,即,

设直线BE与平面ABCD所成角为,

所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为

略

解：

（1）证明：∵平面，∴的射影是，的射影是，

∵∴∴，且，

∴是直角三角形，且，…………………………………3分

∴，∵平面，∴，

且，∴平面………………………………………6分

（2）解法1：由（1）知，且是平行四边形，可知，

又∵平面，由三垂线定理可知，，

又∵由二面角的平面角的定义可知，是平面与底面所成二面角，故，故在中，，∴，，

从而又在中，，

∴在等腰三角形，分别取中点和中点，连接，和，

∴中位线，且平面，∴平面，

在中，中线，由三垂线定理知，，

为二面角的平面角，

在中，，，

，，

∴二面角的大小为.

解法2：由(Ⅰ)知，以点为坐标原点，以、、

所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，

，，，

则，，

设平面的一个法向量为,

则由

又是平面的一个法向量，

平面与底面所成二面角为

，解得，

设平面的一个法向量为,

则由.

又是平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，则

，∴ ∴

∴二面角的大小为.…………………….…….……12分

略

解：（Ⅰ）在菱形ABCD中，∵

∴△ABC为正三角形，

又∵E为AB的中点

∴，

∵平面PAB^平面ABCD，AB为平面PAB与平面ABCD的交线，

∴，又∵

∴┈┈┈┈┈4分

（Ⅱ）∵，E为AB的中点，

∴，又∵，

∴，

以E为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴

建立空间直角坐标系如图所示

设，则，，，

∴

设，其中，则，∵为平面的法向量，∴，得，

即是的中点，∴┈┈┈┈┈9分

设为平面的法向量，则

 令，得，取，

设为平面的法向量，则 得出

令，得，取，

设平面与平面夹角为，则┈┈┈12分

略

（Ⅰ）证明略

（Ⅱ）证明略

（Ⅲ）

（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　………………1分

因为平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分

又因为，为中点，

所以.             ……………3分

因为,

所以平面.      ……………4分

（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，

因为为正方形，所以为中点，

又为中点，所以为中位线，

所以，           ………………6分

因为平面，平面，

所以平面.      ………………8分

(Ⅲ)解： 因为侧面，均为正方形， ，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系.

设，则.

，                            ………………9分

设平面的法向量为，则有

，， ，

取，得.                                 ………………10分

又因为平面，所以平面的法向量为，………11分

，                         ………………12分

因为二面角是钝角，

所以，二面角的余弦值为.                 ………………13分