热门试卷

（Ⅰ）,证明略。

（Ⅱ）取的中点，则点可使平面平面，证明略。

（Ⅲ）

解：

（Ⅰ）在中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

∴，∴，同理可得 

∵，∴平面ABC

∵平面ABC，∴。

（Ⅱ）如图所示取PC的中点G，则点G可使平面ABG//平面DEF。

连结AG、BG，∵PF:FC=3:1，∴F为GC的中点

又D、E分别是BC、AC的中点，

∴AG//EF，同时易知BG//FD，又，

∴平面ABG//平面DEF，即PC的中点G可使平面ABG//平面DEF。

（Ⅲ）由（Ⅱ）)知G为PC的中点，连结GE，则有平面ABC，连接EB，

则EB是GB在平面ABC内的射影，

所以是与平面ABC所成的角，而，，

所以，所以直线与平面ABC所成角的正弦值是。

（Ⅰ）略

（Ⅱ）略

（Ⅲ）当时，二面角P-DE-A的大小为45°。

解法一：

（Ⅰ）解：

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点 ∴EF∥PC    

又平面PAC，平面PAC ∴EF∥平面PAC        

（Ⅱ）证明：∵平面，平面  ∴ ………（4分）       ∵是矩形 ∴    

又，∴平面PAB, ……（5分）

 又AF平面PAB∴BC⊥AF         又PA=AB=1，且点F是PB的中点  ∴PB⊥AF ……（7分）       

又∵PB∩BC=B，PB、BC平面PBE

∴AF⊥平面PBC                   

（Ⅲ）解：当时，二面角P-DE-A的大小为45° 过A作AG⊥DE于G，连结PG 

又∵DE⊥PA ∴DE⊥平面PAG  ∴DE⊥PG        

则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角 ∴∠PGA=45°   ∵∠PDA=30°

,PA=AB=1，∴ ∴，    设BE=，则GE=，CE=,在△DCE中，

解得：或（舍去）         

故当时，二面角P-DE-A的大小为45°解法二：（Ⅰ）与解法一同

（Ⅱ）证明：以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP所在直线为轴、轴、轴

建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，，），

D（，0，0）            设，则E（，1，0）

∴（，1，-1）（0，，）=

∴AF⊥PE                  （Ⅲ）解：设平面PDE的一个法向量为（，，），

则        又=（，0，-1）=（，1，-1）

∴    （1，，）

而平面ADE的一个法向量为（0，0，1）又二面角P-DE-A的大小为45°

∴°= 即 ∴ 即 解得或（舍去）

故当时，二面角P-DE-A的大小为45°。

本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。

（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。

（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。

（1）证明见解析。

（2）

（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，

则∥平面，所以∥。

又是的中点，所以⊥，则⊥。

因为⊥，⊥，

所以⊥面，则⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，连。因为⊥平面，

根据三垂线定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，则∥，则是的中点，则。

设，由得，，解得，

在中，，则，。

所以，故二面角为。

解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

（2）由已知设

则

由与共线得:存在有得

同理:

设是平面的一个法向量,

则令得 

又是平面的一个法量

所以二面角的大小为

（2）  （3）中点

以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）.

、

设AD=a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），

P（0，0，a），F（，，）.

  （I）

（II）设平面DEF的法向量为

得

取x=1，则y=－2，z=1.

设DB与平面DEF所成角为

（III）假设存在点G满足题意

因为

∴存在点G，其坐标为（，0，0），即G点为AD的中点

（1）略

（2）

（Ⅰ）证明：连结D1E，

  ………………6分

（Ⅱ）解：过A作AG⊥A1E，垂足为G。

∵A1D1⊥平面A1ABB1，∴A1D1⊥AG，

∴AG⊥平面A1EFD1。

连结FG，则∠AFG为所求的角。……9分

      即直线AF与平面A1EFD1所成的角的正弦值为 …………12分

（1）平行（证明略）

（2）取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为

（３），可得点到面的距离为

略

解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线A

与A1C所成的角。设，则

中，。

所以异面直线AE与A1C所成的角为。  ------------------4分  （2）．由（1）知，A1E1⊥B1C1,

又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱

⊥BCC1B1,又EG⊥A1C  CE1⊥EG．

∠=∠GEC ~

即得

所以G是CC1的中点             ---------------------------- --8分

（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC．

又平面ABC⊥平面ACC1A1  EP⊥平面ACC1A1 

而PQ⊥AG  EQ⊥AG．∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．

由EP=a,AP=a,PQ=,得

所以二面角C-AG-E的平面角是  ，而所求二面角是二面角C-AG-E的补角，故二面角的平面角是  ------------------12分

略

（1）（2）

（1）∵PD⊥平面ABCD，

∴∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，PD＝2．（2分）

在四边形ABCD中，

∠ADC＝∠DAB＝90，AB＝4，CD＝1，AD＝2，

∴＝5，则＝＝．（6分）

（2）以DA、DC、DP所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，1，0），则P（0，0，2），

＝（2，0，－2），＝（－2，－3，0）．     （10分）

＝－，即异面直线PA与BC所成的角大小为．（14分）