热门试卷

（Ⅰ）略（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，

在三棱柱中，所有棱长都为2，

则，所以平面

而平面，故

（Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.设平面与平面的交线为，

在三棱柱中，，平面，则，

过点作交于点，连接.由，知平面，

则，故为平面与平面所成二面角的平面角。

在中，,则

在中，，,

即平面与平面所成锐角的余弦值为。

方法2：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.以所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，依题意得.

由得，设平面的一个法向量为

而，则，取

而平面，则平面的一个法向量为

于是，

故平面与平面所成锐角的余弦值为。

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.

试题分析：（Ⅰ）在平面内找一条直线与已知直线平行，通过线线平行可证；（Ⅱ）通过等体积法来求；

试题解析：（Ⅰ）如图，设FD的中点为N，连结AN，MN．

∵M为FC的中点，

∴MN∥CD，MN＝CD．

又AO∥CD，AO＝CD，

∴MN∥AO，MN＝AO，

∴MNAO为平行四边形，

∴OM∥AN，

又OM⊄平面DAF，AN⊂平面DAF，

∴OM∥平面DAF．                        6分

（Ⅱ）如图，过点F作FG⊥AB于G．

∵平面ABCD⊥平面ABEF，

∴FG⊥平面ABCD，

∴VF-ABCD＝SABCD·FG＝FG．

∵CB⊥平面ABEF，

∴VF-CBE＝VC-BEF＝S△BEF·CB＝·EF·FG·CB＝FG．

∴VF-ABCD：VF-CBE＝4．                       13分

（1） AE是圆柱的母线底面BEFC, 又面BEFC   

又ABCD是正方形 又面ABE 

又面ABE         …… 3分

（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形 EFBC          

       四边形EFBC为矩形 

BF为圆柱下底面的直径          …… 4分      

设正方形ABCD的边长为，则AD=EF=AB=

在直角中AE=2，AB=，且BE2+AE= AB，得BE=2-4        

在直角中BF=6，EF=，且BE+EF= BF，的BE2=36-2        …… 6分

解得=，即正方形ABCD的边长为                       …… 7分

（3）如图以F为原点建立空间直角坐标系,则A(，0，2),B(，4，0),

E(，0，0),(，0， 2),(，4，0), (，0，0) 

设面AEF的法向量为(，，)，则

令，则即(，，-)              …… 11分

设直线与平面所成角的大小为，则

  …… 12分

所以直线与平面所成角的正弦值为.

(1)证明线线垂直，可以通过证明线面垂直来解决.本题只要证即可.（2）在中求AB的长，在中求BC的长，然后根据AB=BC即可求出BE的长度.进而确定正方形ABCD的边长.

（3）可以借助向量建系来解决，也可以利用三垂线定理作出直线FE与平面ABF所成的角.然后再求解.

见解析

本试题主要是考查了线面平行的判定，和多面体体积的求解，以及面面垂直 的判定问题的综合运用。

（1）首项分析线线平行，利用判定定理得到结论，关键是得到OM∥PA

（2）由于线面垂直，得到多面体的高，利用椎体的体积公式求解得到V=

（3）假设存在点，那么利用正面取到中点的特殊位置，来说明符合面面垂直的判定即可

证明(1)连接AC,BD相交于O

∴OM∥PA     ∴PA∥平面BDM………….4分

(2) ∵ PQ平面ABCD       ∴PQAD

∵ PD=    ∴V=……..8分

(3)存在.   取AB中点N,连结CN    易知CNQB, CNPQ

∴CN平面BPQ,又 

证明：（1）连结，设

连结，是正方体  

是平行四边形且     2分

又分别是的中点，且

是平行四边形                               

面，面

面                                       4分

（2）面                    

又，                       6分

同理可证，                             

又

面                                9分

（3）直线AC与平面所成的角实际上就是正四面体ACB1D1的一条棱与一个面所成的角，余弦值为，从而正切值为。             13分

略

解法一

（1）得，因为底，所以，

，所以面，所以

因为，，所以底

（2）由（1）得，所以是菱形，

所以，，

由，得

（3）设，作于，连，由（1）所以，

所以为二面角平面角，

在中，所以，所以二面角余弦 

解法二

（1）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，，，

（2），，，

由，知，

又，从而平面；

（2）由，得

设平面的法向量为，，，所以

，设，则

所以点到平面的距离 

（3）再设平面的法向量为，，，

所以，设，则，

故，根据法向量的方向可知二面角的余弦值大小为 

略

（1）略

（2）设二面角D—A1C—A的大小为

（I）证明：连结AC1交A1C于点G，连结DG，

在正三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，

…………2分

…………4分

（II）解法一： 过点D作交AC于E，过点D作交A1C于F，连结EF。

是二面角D—A1C—A的平面角，…………8分

在直角三角形ADC中，

同理可求：

…………12分

解法二：过点A作交BC于O，过点O作交B1C1于E。

因为平面

所以，分别以CB、OE、OA所在的直线为建立空间直角坐标系，

如图所示，因为是等边三角形，所以O为BC的中点，则

…6分 设平面A1DC的法向量为则

取……8分

可求平面ACA1的一个法向量为…………10分

设二面角D—A1C—A的大小为

…………12分

解：

（I）以为原点，，，分别为轴，线段的长为单位长度，建立坐标系如图所示。

设

则  

可得

∵

∴

（II）由已知条件可得，则

∴

设是平面的法向量

则

∴

因此可以取

可得

∴直线和平面所成角的正弦值为

，0.5.

解：如图所示

（Ⅰ）证明：因为，，所以，即，

取的中点，连结，则，

又平面平面，可得平面，即得，

从而平面，故           ……………………4分

（Ⅱ）二面角的大小为；……………………8分

（Ⅲ）求点C到面的距离是0.5.         ……………………12分

(1)略

(2)

解法一：（1）

    …………4分

延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB

与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作

∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的正切值为. ………14分

解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，

        …………4分

（2）易知，

则的法向量。

∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为. …………14分