热门试卷

（1）略（2）

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，E是CD的中点

∴BE⊥AB，

又PA⊥底面ABCD，

∴BE⊥PA

∴BE⊥平面PAB

∴BE平面PBE

∴平面PBE⊥平面PAB

（2）设PA的中点为M，连接EF、FM、MD

则MF//AB、DE//AB，

∴DE//FM、DE=FM

∴四边形EFMD是平面四边形，

∴EF//DM

又EF平面PAD，DM平面PAD

∴EF//平面PAD

（3）延长BE交AD的延长线于G，则PG是平面PAD和平面PBE的交线过点A作AH⊥OB、AN⊥PG，

∵AH⊥平面PAB，

∴∠ANH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角

在Rt△PAB中，PA=4、AB=2

∴

∵E是DC的中点，且AB//CD，

∴AG=2AD=4

∴在Rt△PAG中，AN=，

∴Rt△ANH中，

∴平面PAD和平面PBE所成二面角的大小为

或如图，建立空间直角坐标系O—xyz，

B（1，0，0），

则，

设平面PAD的法向量为

则

可得

又

设平面PBE的法向量为

，

=0

可得，取x=1，

平面PAD和平面PBE所成二面角的大小为

略

证明：（1）（方法一）取PD中点F，连结EF，AF．

因为E是PC的中点，F是PD的中点，

所以EF∥CD，且CD=2EF．

又因为AB∥CD,CD=2AB,所以EF=AB，即四边形ABEF是平行四边形．

因此BE∥AF．………………5分

又平面PAD，平面PAD,

所以BE∥平面PAD．………………8分

（方法二）延长DA、CB，交于点F，连结PF．

因为AB∥CD,CD=2AB,

所以B为CF的中点．

又因为E为PC的中点，

所以BE∥PF．………………5分

因为平面PAD，平面PAD,

所以BE∥平面PAD．………………8分

（方法三）取CD中点F，连结EF，BF．

因为E为PC中点，F为CD中点，

所以EF∥PD．     

因为平面PAD，平面PAD,

所以EF∥平面PA   D．………………2分

因为F为CD中点，所以CD=2FD．

又CD=2AB,AB∥CD,故AB=FD，即四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD．

因为平面PAD，平面PAD,所以BF∥平面PAD．

因为平面BEF,

所以平面BEF∥平面PA                D．………………6分

因为平面BEF，所以BE∥平面PA  D．………………8分

（2）因为AB平面PAD,PA,平面PAD,

所以……………………10分

因为

所以平面PA B．………………12分

又平面PAB，所以

因为故PA面ABCD．……………………14分

（1）见解析   （2） 

 （1）证明：由题意，是等腰三角形，，所以. 又，∴ ，所以.∵底面，底面，

∴，又，∴平面.…………………………………5分

（2）解：易证，以为原点，AB、AD、AS所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系（如图），

则，

设平面SBC的法向量为，设平面SCD的法向量为

由，令，则，

同理可求，∴，

∴二面角的余弦值为.………………13分

（1）见解析

（2）∴

以A为坐标原点，射线AP、AB、AD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。设，由已知得

（1）当时，，

∴   4分

∴，∴

又，∴平面PBD⊥平面PAC；                           6分

解法二：当时，矩形为正方形，∴

∵面，∴                                  2分

又，∴BD⊥平面PAC，BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC

（2）由

得

设平面PDC，∴

∴   不妨设，则

设平面PDB，∴

∴ 不妨设，则 10分

∴

当变化时，即，

又，∴

（1）略

（1）略

（3）

（1）证明：底面，

又，，故面

面，故…………………………………………………   4分

（2）证明：，，故

是的中点，故

由（1）知，从而面，故

易知，故面………………………………………………  5分

（3）过点作，垂足为，连结．

由（2）知，面，故是二面角的一个平面角．

设，则，，

从而，故．………………  5分

说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。

（1）证明：平面，

，∴平面．           ….6分

(2)解：作EF⊥AC交于 F，连接SF，易证EF⊥SA ∴EF⊥平面SAC( 8分)

∴∠ESF是直线SE.与平面SAC所成角。

EF=  SE=（10分）….12分

（I）同解析（II）二面角的大小为

解：解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，

是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以

又所以

又因为PA平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此 平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以

又所以是二面角的平面角．

在中, ．

故二面角的大小为

解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.

从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）易知设是平面PBE的一个法向量,

则由得 所以

故可取而平面ABE的一个法向量是

于是,．

故二面角的大小为

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）见解析

(1) 平面ABCD平面ABEF,

且四边形ABCD与ABEF是矩形,

AD平面ABEF,ADAE,

BC∥AD BCAE

又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,

所以四边形ABEF为正方形.AEFB,

又BFBF平面BCF，BC平面BCF

所以AE平面BCF……………………………………………4分

(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在 OH//BD,

HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),

在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=

异面直线BD与AE所成的角的余弦值为………………………….8分

(3)当N为FD的中点时, MN∥平面FCB

证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，

则NG//FC,MG//BC,

又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G

所以平面NGM//平面FBC,

MN平面NGM

MN//平面FBC……………………………………………………………12分

（1）见解析

（2）二面角A-PD-E的正弦值为

(3) a

（1）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，为中点，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面PDE ………………………（4分）

（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．

过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，

由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．

在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝a

∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．

∴二面角A-PD-E的正弦值为．       …………………………………………..( 8分)

（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=2a,AB=AE=4a,

取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．

∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，

∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．

又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．

∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA=AE=4a，F为AE中点，FG⊥PE，  

∴FG=a． ∴点C到平面PDE的距离为a．（或用等体积法求）…………（12分）

（1）详见试题解析；（2）二面角的余弦值为.

试题分析：（1）由勾股定理得：。根据面面垂直的性质定理，可得平面

再由面面垂直的判定定理得：平面平面；

（2）思路一、由于，故可以为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法可求得二面角的余弦值.

思路二、作出二面角的平面角，然后求平面角的余弦值.

由（1）知平面，所以平面平面

过作的垂线，该垂线即垂直平面

再过垂足作的垂线，将垂足与点连起来，便得二面角的平面角

试题解析：（1）证明：在中，由于,,,

,故.

又，

，，又，

故平面平面                                             5分

（2）法一、如图建立空间直角坐标系，, ,

  , .

设平面的法向量, 由

令, .

设平面的法向量, 由

即，令

,二面角的余弦值为          12分

法二、

由（1）知平面，所以平面平面

过作交于，则平面

再过作交于，连结，则就是二面角的平面角

由题设得。由勾股定理得：

所以.

二面角的余弦值为                                     12分

解：

(1)证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA

∵G是DF的中点，GS//FC，AS//CM

∴面GSA//面FMC，而GA面GSA，

∴GA//平面FMC                        6分

（2）在平面ADF上，过D作AF的垂线，

垂足为H，连DM，则DH⊥平面ABEF，

∠DMH是DM与平面ABEF所成的角。       8分

在RTDHM中，。

所以DM与平面ABEF所成的角为。              12分

略

（1）证明略

（2）60°