热门试卷

方法一：

（Ⅰ） ，

∴ ，，

 ，

∴ 平面．                        　   ……………………3分

（Ⅱ）当M为PC中点时，即时，直线平面，　　   …………4分

证明如下：

由（Ⅰ）知平面，平面，∴ ，　 ……5分

在等腰中， M为中点，∴ ，         …………6分

又，

∴ 平面．                               　  ……………8分

（Ⅲ）

由(Ⅱ)知当M为PC中点时，平面， 平面，

∴ 平面平面．                        ……………………9分

过作于，∴ 平面                                                         

作于，连结，由三垂线定理可知，．

∴ 为二面角的平面角．           ……………………11分

设，则．

在中，，

由(Ⅰ)知平面，平面，∴ ．

在中，．

由面积公式得,,            ……………12分

同理，在中，由面积公式得， ……………13分

在中，．

所以二面角的大小为．       ……………………14分

方法二：

(Ⅰ)同方法一．                                      　    …………………3分

(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．                      

设，则， 　  …………………4分

当M为PC中点时，即时，直线平面．   …………………5分

证明如下：

当M为PC中点时，．

，,．

,                    

∴ ，即．                          ………………6分

，            

∴ ，即．                           ………………7分

又，∴ 平面．                ……………8分

（Ⅲ）可证平面．                                   

则平面法向量为，                          ……………9分

下面求平面PBC的法向量．

设平面PBC的法向量为，

,，

，

令，则，                     　   ……………………12分

．

所以二面角的大小为．          ……………………14分

（1）证明见解析。

（2）

如图建系，则

  （1）

 （6分）

（2）设直线所成的角为， 

则直线所成角的正弦值为 （12分）

证明略

设定线段AB所在直线为l,与平面交于O点，即l∩=O.

由题意可知，AP∩=C，BP∩=D，∴C∈，D∈.

又∵AP∩BP=P,

∴AP、BP可确定一平面且C∈，D∈.∴CD=∩.

∵A∈，B∈,∴l,∴O∈.∴O∈∩，即O∈CD.

∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点.

证明见答案

分，是异面、共面两种情况讨论．

（１）  当，共面时，如图（１）

，，连结，．

，且，．．

（２）  当，异面时，如图（２），过点作交于点．

在上取点，使，连，由（１）证明可得，又得，平面平面平面．又面，．

（1）利用直线与平面平行的判定定理直接证明AB∥平面PCD．

（ 2）通过证明PA⊥BD，结合PA∩AC=A，推出BD⊥平面PAC，然后证明平面BDE⊥平面PAC．

（ 3）

试题分析：解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD中， AB//，又AB平面，平面

所以AB//平面                                              3分

（Ⅱ）证明：正方形ABCD中，，

平面ABCD，平面ABCD，，            5分

又，所以平面，                     6分

平面，平面平面      8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以只需可证平面，

在中，可求，，，

                       12分

点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想象能力．

（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD平面ABEF＝AB

EB⊥AB ∴EB⊥平面ABCD   又MN∥EB     

∴MN⊥面ABCD．                                             （3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角   ∴∠EDB＝30o

又在Rt△EBD中，EB＝2MN＝2，∠EBD＝90o   ∴DE＝

连结AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角 ∴∠DEA＝45o（5分）

在Rt△DAE中，∠DAE＝90o   ∴AE＝DE    cos∠DEA＝2

在Rt△ABE中，．                 （7分）

（Ⅲ）方法一：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH

∵AD⊥平面ABEF    BO面ABEF

∴BO⊥平面ADE   ∴OH为BH在平面ADE内的射影

∴BH⊥DE  即∠BHO为所求二面角的平面角 （9分）

在Rt△ABE中，BO＝

在Rt△DBE中，由BH·DE＝DB·OE得BH＝

∴sin∠BHO＝

略

解：面                   

 ┅┅┅┅2分

如图以为原点建立空间直角坐标系．                                      

设则，，．                                     ，

由直线与直线所成的角为60°，得

，即，解得．┅┅┅4分

(1)∴，,得┅┅┅6分

∴，┅┅┅8分

(2)设平面的一个法向量为，则

由，取，得 ┅┅┅┅10分

取平面的一个法向量为

则 ┅┅┅┅12分

由图知二面角的大小的余弦值为┅┅┅┅13分

方法二：（1）因为┅┅┅3分

┅┅┅6分

(2)同上

略