热门试卷

沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，

原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA′，

在△PAB中，因为PA=PB=8，AB=4，

设∠APB=α，则cosα===．

∠APA′=3α，

由cos3α=4cos3α-3cosα=4×()3-3×=．

在△APA′中，由余弦定理得：

AA′2=PA2+PA′2-2PA•PA′cos3α

=82+82-2×8×8×

=121．

所以，AA′=11．

所以，△AEF的周长最小值为11．

（1）证明见解析

（2）

本题主要考查直线与平面、点到面的距离，考查空间想象能力、推理论证能力。

（1）证明：∵点E为的中点，且为直径

∴

，且

∴

∵FC∩AC=C

∴BE⊥平面FBD

∵FD∈平面FBD

∴EB⊥FD

（2）解：∵，且

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴点到平面的距离

点评：立体几何问题是高考中的热点问题之一，从近几年高考来看，立体几何的考查的分值基本是20分左右，其中小题一两题，解答题必考一题，主要是考查，直线与平面、平面与平面的垂直与平行。解答题是常常是两证一求，既有证明又有计算，证明主以证明直线与平面的垂直与平行为主，计算主要以体积、面积及求体积与面积的距离（点到线、点到面的），这种考查形式将近几年内不会有大的改变。

（1）VC与平面ABCD成30°．

　　（2）二面角V-FC-B的度数为135°．

　　（3）B到面VCF的距离为．

取AD的中点G，连结VG，CG．

　　（1）∵　△ADV为正三角形，∴　VG⊥AD．

　　又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，

　　∴　VG⊥平面ABCD，则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．

　　设AD＝a，则，．

　　在Rt△GDC中，

　　．

　　在Rt△VGC中，．

　　∴　．

　　即VC与平面ABCD成30°．

　　（2）连结GF，则．

　　而　．

　　在△GFC中，．　∴　GF⊥FC．

　　连结VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．

　　在Rt△VFG中，．

　　∴　∠VFG＝45°．　二面角V-FC-B的度数为135°．

　　（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG＝3．

　　此时，，，．

　　∴　，

　　　　．

　　∵　，

　　∴　．

　　∴　．

　　∴　　即B到面VCF的距离为．

证明：（1）连接AH并延长交BC于一点E，连接PH，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，又H是三角形ABC的垂心，故AE⊥BC，又AE∩PA=A，∴BC⊥面PAE，而PH⊂面PAE，∴PH⊥BC，同理可以证明PH⊥AC，又AC∩BC=C，∴PH⊥底面ABC．  

（2）设PA=a；PB=b；PC=c，则AB2=a2+b2，同理BC2=c2+b2，Ac2=a2+c2，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA===＞0，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以，）△ABC是锐角三角形．

∵正方体中不在同一表面上两顶点坐标为M（-1，2，-1），N（3，-2，3），

∴MN是正方体的题对角线，MN==4

∴正方体的棱长为4，正方体的内切球的半径为2

∴正方体的内切球的表面积为16π

故答案为：16π