热门试卷

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ） 点为的中点

 (1) 如图建立空间直角坐标系.

设，连结，则…………2分

　　∴又 ，

∴…………4分

∴   且与不共线，

∴∥,又平面,平面，

∴∥平面.    …………6分

(2) 设 ，

则＝， ＝.又∵与所成的角为60°，… 8分

，………… 9分

解之得(舍去)，…………11分

故点为的中点. …………12分

略

（1）在等腰梯形中，………3分

又底面ABCD，面面ABCD，面CDE

面ACH，面面CDE………………………………………………6分

（2）过G作GN//BC且GN=BC，则面GFN//面ABC,且梯形GEFN与梯形ABCD全等，

则二面角B-FG-N的正切值即为所求………………………………………………….9分

取FG的中点O，连结NO,BO,.

是等腰三角形，

由三垂线定理知即为所求二面角的平面角……………………12分

在等腰三角形NFG中，故所求锐二面角的正切值为2。………  13分

（1）  略

（2）  

（3）  棱SC上存在一点E

解法一：

（1）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.

(2)设正方形边长，则。

又，所以,

连，由（1）知,所以,

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小为。

（3）在棱SC上存在一点E，使

由（2）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解法二：（1）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。

设底面边长为，则高。

于是         

    故  从而  

(2)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为

（3）在棱上存在一点使.

由（2）知是平面的一个法向量，

且  

设    

则     

而      

即当时，    

而不在平面内，故

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）延长交的延长线于点，由得

延长交的延长线于

同理可得

故，即与重合

因此直线相交于点，即四点共面。

（Ⅱ）设，则，

取中点，则，又由已知得，平面

故，与平面内两相交直线都垂直。

所以平面，作，垂足为，连结

由三垂线定理知为二面角的平面角。

故

所以二面角的大小

解法二：由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系。

（Ⅰ）设，则

　　，

，

故，从而由点，得，

故四点共面。

（Ⅱ）设，则，

，

在上取点，使，则，

从而，

又，

在上取点，使，则，

从而。

故与的夹角等于二面角的平面角，

　　，

所以二面角的大小。

（Ⅰ）当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.（Ⅱ）

本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.

解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影

∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，

于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.

连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.

∴D1E⊥AFDE⊥AF.

∵ABCD是正方形，E是BC的中点.

∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，

即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.…………6分

（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.

又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，

设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是

C1H在底面ABCD内的射影.

C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.

在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，

∴tan∠C1HC=.

∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=.

故二面角C1—EF—A的大小为.

解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），

A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）

（1）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.

∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角.

见解析

解法一：

（1）因为，所以SC在底面的射影是CD

又因为底面ABCD是正方形，所以，所以…………4分

（2）取AB的中点P，连结MP，DP

在中，由中位线得 MP//SB ，所以

是异面直线DM与SB所成的角或其补角，

因为，又，

所以，因此

所以异面直线DM与SB所成的角为…………9分

（3）因为，底面ABCD是正方形，

所以可以把四棱锥补成长方体，

面与面所成二面角就是面与面所成二面角

因为，，所以

又，所以为所求的二面角的平面角

在中，由勾股定理得，在，得

所以，即面与面所成二面角为。. …………14分

解法二：以点D为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，

因为ABCD是边长为1的正方形，且，

所以，，则，，

，，

因为，，则

所以，即…………4分

（2）设所求的异面直线所成的角为，因为

所以

故异面直线DM与SB所成的角为…………9分

（3）设所求二面角的平面角为，由题意可以面ASD的一个法向量为，设面BSC的一个法向量为，则

所以

而与所成的角就是所求的二面角的平面角或其补角，所以

所以面与面所成二面角为。…………14分

(1)略(2) （3）线段上存在一点，使得∥平面PAE，且F是PD的中点。

∵四边形ABCD是的菱形,E为边BC的中点,

∴AE⊥BC,AE⊥AD,又平面，∴PA⊥AE,PA⊥AD,以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系，设AB=2，则

，-------------1分

（1）-------------2分

∴------------------3分

即PE⊥AD  ---------------------4分

（2）设平面PCD的法向量为，则⊥，⊥，

∵

∴，

令，则，得平面PCD的一个法向量为，

又⊥平面PAE，则是平面PAE的一个法向量，设平面PAE与平面PCD所成角为，则

所以平面与平面所成锐二面角的大小为；------------------------8分

（3）在线段上存在一点，使得∥平面PAE，且F是PD的中点，

证明：取PA中点M,连结MF,易证四边形CFMB是平行四边形,所以CF∥EM,

又CF平面PAE,EM平面PAE,所以∥平面PAE.---------------------12分