- 空间几何体
- 共15406题
如图,四棱锥P—ABCD的底面为矩形,PA=AD=1,PA⊥面ABCD,E是AB的中点,F为PC上一点,且EF//面PAD。
(I)证明:F为PC的中点;
(II)若二面角C—PD—E的平面角的余弦值为求直线ED与平面PCD所成的角
正确答案
略
.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∥
,AD=CD=1,∠
=120°,
=
,∠
=90°,M是线段PD上的一点(不包括端点).
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)求异面直线AC与PD所成的角的余弦值
(3)试确定点M的位置,使直线MA与平面PCD所成角的正弦值为
.
正确答案
略
(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,
,
,底面
是菱形,且
,
为
的中点.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)侧棱上是否存在点
,使得
平面
?并证明你的结论.
正确答案
略
(Ⅰ) 是菱形,
,
,
为正三角形, ………………2分
又为
的中点,
,
则有,
,
,
………………4分
又,
底面
,
由,
,
,
平面
…………7分
(Ⅱ)为侧棱
的中点时,
平面
. ………………8分
证法一:设为
的中点,连
,则
是
的中位线,
且
,又
且
,
且
,
四边形
为平行四边形, ……………11分
,
平面
,
平面
,
平面
. ………………14分
证法二:设为
的中点,连
,则
是
的中位线,
,
平面
,
平面
,
平面
. ………………10分
同理,由,得
平面
.
又,
平面
平面
, ………………12分
又平面
,
平面
. ……………14分
如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,
(1)求证:A1C⊥平面BDE;
(2)求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
(3)设F是CC1上的动点(不包括端点C),求证:△DBF是锐角三角形。
正确答案
(1)见解析
(2)
(3)见解析
(1)证明:由正四棱柱性质知A1B1⊥平面BCC1B1,A1A⊥平面ABCD,
所以B1C、AC分别是A1C在平面CC1B1B、平面ABCD上的射影
∵ B1C⊥BE, AC⊥BD, ∴A1C⊥BE , A1C⊥BD, (2分)
∴ A1C⊥平面BDE (4分)。 (直接指出根据三垂线定理得“A1C⊥BE , A1C⊥BD”而推出结论的不扣分)
(2)解:以DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴,建立坐标系,则,
,
,∴
,
(6分)
∴ (7分)
设A1C平面BDE=K,
由(1)可知,∠A1BK为A1B与平面BDE所成角,(8分)
∴ (9分)
(3)证明:设点F的坐标为(0, 2, z)(0,
又|DB|=,故△DBF是等腰三角形,要证明它为锐角三角形,只需证明其顶角∠DFB为锐角则可。 (11分)
由余弦定理得cos∠DFB=
∴∠DFB为锐角, (13分)
即不论点F为CC1上C点除外的任意一点, △DFB总是锐角三角形.(14分)
说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2分)
下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是______.
正确答案
①由题意知在正方体中,PS和QR都和上底的对角线平行,所以PS∥QR,则P、Q、R、S四个点共面,所以正确.
②由题意知在正方体中,PQ和SR是异面直线,则P、Q、R、S四个点不共面,所以错误.
③因PQ和RS分别是相邻侧面的中位线,所以PQ∥SQ,所以P、Q、R、S四个点共面,所以正确.
④根据图中几何体得,PQ和SR是异面直线,则P、Q、R、S四个点不共面,所以错误.
故答案为:①③.
如图,平面平面
,点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点,点G是线段CO
的中点,,
.求证:
(1)平面
;
(2)∥平面
.
正确答案
证明:由题意可知,为等腰直角三角形,
为等边三角形. …………………2分
(1)因为为边
的中点,所以
,
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,所以
面
.…………………5分
因为平面
,所以
,
在等腰三角形内,
,
为所在边的中点,所以
,
又,所以
平面
;…………………8分
(2)连AF交BE于Q,连QO.
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点,
所以,且Q是△PAB的重心,…………………10分
于是,所以FG//QO. …………………12分
因为平面EB
O,
平面EBO,所以
∥平面
.
略
(本小题满分12分)
如图,四棱锥的底面是矩形,
底面
,
为
边的中点,
与平面
所成的角为45°,且
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦的大小.
正确答案
解:(Ⅰ)证明:因为底面,
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角 …………………1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=,…………………3分
又因为AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以. …………………4分
因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD, …………………………………………………………5分
由于SA∩AP=A 所以平面SAP.…………………6分
(Ⅱ)设Q为AD的中点,连结PQ,…………………7分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,
则平面SAD⊥平面PAD …………………8分
,PQ⊥平面SAD,SD平面SAD, .
过Q作QR,垂足为,连接
,则
.
又,
,
∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角.…………10分
容易证明△DRQ∽△DAS,则.
因为,
,
所以. …………………12分
在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,,
所以. …………………13分
所以二面角A-SD-P的余弦为.…………………14分
解法二:因为底面,
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角. ……1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1
建立空间直角坐标系(如图)
由已知,P为BC中点.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0)、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)……………3分
(Ⅰ)易求得,
,.…………………4分
因为,
.
所以,.
由于,所以平面
. …………………6分
(Ⅱ)设平面SPD的法向量为.
由,得解得,
所以. …………………9分
又因为AB⊥平面SAD,所以是平面SAD的法向量,
易得.…………………9分
所以. …………………13分
所以所求二面角的余弦值为.…………………14分
略
(本题满分12分)
如图,三棱锥A—BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.
(Ⅰ)求证:DM//平面APC;
(Ⅱ)求 证:平面ABC⊥平面APC;(Ⅲ)若BC=4,AB=20,求三棱锥D—BCM的体积.
正确答案
(Ⅰ)略
(Ⅱ)略
(Ⅲ)VD-BCM=VM-BCD=
解:(Ⅰ)∵M为AB中点,D为PB中点,
∴MD//AP, 又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC ……………3分
(Ⅱ)∵△PMB为正三角形,且D为PB中点。
∴MD⊥PB
又由(Ⅰ)∴知MD//AP, ∴AP⊥PB
又已知AP⊥PC ∴AP⊥平面PBC,
∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC
∴BC⊥平面APC, ∴平面ABC⊥平面PAC ……………8分
(Ⅲ)∵AB=20
∴MB="10 " ∴PB=10
又BC=4,
∴
又MD
∴VD-BCM=VM-BCD=………………12分
(广东兴宁四矿●中学高三段考)如图⑴在直角梯形PDCB中,PD∥CB,CD⊥PD,PD=6,BC=3,DC=,A是线段PD的中点,E是线段AB的中点;如图⑵,沿AB把平面PAB折起,使二面角P-CD-B成45
角.
⑴求证PA⊥平面ABCD;
⑵求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小.
正确答案
见解析
解:证明:(1)
平面
∥
∴
平面
,
∴是二面角
的平面角,故
又平面
解(2)如图建立空间直角坐标系,则
,
由(1)知
是平面
的法向量,设平面
的法向量为
=
,
则,得
由,
令得
设向量与
所成的角为
,则:
∴向量与
所成的角为30
,
故平面和平面
所成的二面角为30
.
一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形,则这个圆柱的全面积为______.
正确答案
设圆柱底面积半径为r,则高为2πr=1,
全面积=(2πr)2+2πr2=1+=
.
故答案为:.
如图,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,BC=2,BB1=4,AB=,∠BCC1=60°.
(Ⅰ)求证:C1B⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求A1B与平面ABC所成角的正切值;
(Ⅲ)若E为CC1中点,求二面角A—EB1—A1的正切值.
正确答案
(Ⅰ)由余弦定理可得BC1=
利用BC2+BC12=CC12得C1B⊥CB,
又平面A1B1C1∥平面ABC 得到 C1B⊥平面A1B1C1.
(Ⅱ);
(Ⅲ)二面角的正切值为.
试题分析:(Ⅰ)证明:∵BC=2,CC1=4,∠BCC1=60°由余弦定理可得BC1=
∴BC2+BC12=CC12 ∴∠CBC1=90° ∴C1B⊥CB 2分
又AB⊥面BB1C1C ∴C1B⊥AB,AB∩CB=B ∴C1B⊥平面ABC,
又平面A1B1C1∥平面ABC ∴ C1B⊥平面A1B1C1 4分
(Ⅱ)∵平面A1B1C1∥平面ABC
∴A1B与平面ABC所成的角等于A1B与平面A1B1C1所成的角 5分
由(Ⅰ)知C1B⊥平面ABC ∴C1B⊥平面A1B1C1
∴∠BA1C1即为A1B与平面A1B1C1所成的角 6分
∠BC1 A1=90° A1C1 ∴
8分
(Ⅲ)CE=BC=2,∠BCE=60° ∴BE=2 ∠EC1B1=120° C1E=C1B1=2 ∴EB1
∴BE2+B1E2=B1B2 ∴∠BEB1=90°即B1E⊥BE 又AB⊥平面BCC1B1
∴B1E⊥AE ∴∠AEB为二面角A—EB1—B的平面角 9分
10分
又∵A1B1⊥平面B1EB ∴平面A1B1E⊥平面B1EB
∴二面角A—EB1—A1的大小为=90°-∠AEB 11分
即所求二面角的正切值为 13分
解法二:易知,
面
,
,
面
,
∴异面直线与
所成角即为所求二面角的大小. 10分
∵∴
即为异面直线
与
所成角, 11分
易得,即所求二面角的正切值为
13分
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想,将空间问题转化成平面问题。
一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的四分之一,那么当桶直立时,水的高度与桶的高度的比为______.
正确答案
横放时水桶底面在水内的面积为πR2-
R2.V水=(
πR2-
R2)h,直立时V水=πR2x,∴x:h=(π-2):4π
故答案为:(π-2):4π
(本小题满分14分)已知四棱锥P—GBCD中(如图),PG⊥平面GBCD,GD∥BC,GD=BC,且BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,PG=4
(Ⅰ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;
(Ⅱ)若F点是棱PC上一点,且,
,求
的值.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)根据异面直线所成角的定义可过点作
//
交
于
,则
(或其补角)就是异面直线
与
所成的角. 因为
//
且
//
,则四边形
为平行四边形,则
,
,故可在
中用余弦定理求
。(Ⅱ)由
可得
,过
作
,
为垂足。易得证
平面
,可得
,从而易得证
//
,可得
,即可求
的值。
试题解析:(Ⅰ)
在平面内,过
点作
//
交
于
,连结
,则
(或其补角)就是异面直线
与
所成的角.
在中,
由余弦定理得,
∴异面直线与
所成角的余弦值为
.
(Ⅱ)
在平面内,过
作
,
为垂足,连结
,又因为
∴平面
,
∴
由平面平面
,∴
平面
∴
//
由得
,∴
,∴
.
如图,圆锥形封闭容器,高为h,圆锥内水面高为若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为
正确答案
试题分析:圆锥正置与倒置时,水的体积不变,另外水面是平行于底面的平面,此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体,它们的体积之比为对应高的立方比.
试题解析:圆锥内水面高为
满足
两个圆锥体积之比为
即水的体积与容器体积之比为
倒置后
(本小题满分12分)如图,直三棱柱中,
,
分别为
的中点,
,二面角
的大小为
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求与平面
所成的角的大小.
正确答案
(1)见解析;(2).
本试题主要是考查了线面角的求解,以及线面平行的判定定理的运用。
(1)利用线面平行的判定定理,先确定线线平行,然后利用定理得到。
((2)建立空间直角坐标系,然后表示出点的坐标,利用法向量和斜向量来得到线面角的求解的综合运用。
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