热门试卷

解：以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则.………2分

（1）.

则……4分

，即异面直线与所成的角为．…………7分

（2）假设线段上存在一点，使，设.

设，则，即，

.…………8分

.

，，，即.

即线段上存在一点，使得，且.………14分

略

证明：（Ⅰ）直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．……2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………… 5分[

又，平面BB1C1C， AC⊥平面BB1C1C．…………7分

（Ⅱ）证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB．…………2分

又∵DC‖AB，DC＝AB,DC ∥PB1,且DC＝ PB1,…4分

∴DC B1P为平行四边形，从而CB1∥DP．   

又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1…6分

同理，DP‖面BCB1．  …………7分

(注：第(Ⅰ)问7分，第（Ⅱ）问7分)

略

（1）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）

（－2，2，2），（2，2，0）（－2，2，2）（2，2，0）＝0，

∴ 

（另解）作DH⊥EF于H，连BH，GH，由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，

BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。           4分

（2）∵AD∥面BFC，所以VA-BFC＝＝4(4-x)x

即时有最大值为。     8分

（3）设平面DBF的法向量为，∵AE="2," B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,则 ，即，

取x＝3，则y＝2，z＝1，∴ 面BCF的一个法向量为    则cos<>= 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－         

（另解）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。又DH＝2，∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝， 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，

故二面角D-BF-C的余弦值为－。      12分

略

（1）略

（2）

（3）

⑴证明：因为面面,

交线,

面,

所以面． ……2分

故 ,

又 ,

．

所以面, ……4分

⑵解：注意到,

所以与所成的角即为异面直线与所成的角, ……6分

连接，由⑴知．

在中，,

异面直线与所成的角为． ……8分

⑶解：由⑴知面，所以，又,

所以△的面积． ……9分

同理△的面积，等腰梯形的上底长为，下底长为4，两腰长均为，则它的高为，所以其面积．……10分

等腰梯形的上底长为，下底长为4，两腰长均为,

则它的高为，所以其面积．…… 11分

故该几何体的表面积．…12分

（1）略

(2)异面直线与所成角的正切值是.

(1)证.如图,取的中点,连接,

∵分别为的中点,∴.

∵分别为的中点,∴.

∴,∴四点共面.……2分

∵分别为的中点.∴.…4分

∵平面,平面,

∴平面.   ……………………6分

(2)解.由(1)知,故与所成角等于或其补角. …………7分

又易得,,                …………………………8分

又平面且,故,     …………………………9分

再由知,    …………………11分

故异面直线与所成角的正切值是.     …………………………12分

（1）找BC中点G点，连接AG，FG

F，G分别为DC,BC中点

//AG

//平面ABC                    ………．4分

（2）因为面，∥

DB⊥平面ABC

又∵DB平面

平面ABC⊥平面

又∵G为 BC中点且AC=AB=BC

AG⊥BC

AG⊥平面,

又∵

平面 ………………………．8分

（3）过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE且CH=

…………12分

略

（1）的中点。

（2）

（Ⅰ）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED∥BC

又

又EG，ED

连结∥DG

是AC的中点，的中点。…………6分

（Ⅱ）∥EF，平面EFG

∥平面EFG

，G是的中点

………………6分

（1）略

（2）

（法一）（I）正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD， 平面ABCD， ，连结AC， M、N分别为AB、BC

的中点， MN//AC，又四边形ABCD是正方形， ， 平面BB1D1D，

又平面B1MN，

平面B1MN平面BB1D1D                                           （6分）

（II）设正方体棱长为2，取CD中点H，连C1H、MH，由于MH∥C1B1，MH=C1B1，所以四边形C1HM B1为平行四边形， M B1∥C1H，所以直线C1H与平面A1C1P所成角θ即为直线MB1与平面A1C1P所成角。设H到平面的距离为h，∵P为DD1中点，所以A1P=C1P=,，，由得，h=，所以sinθ=；                    （ 12分）

（法二）

以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，P(0,0,x)，M(2,1,0)，N(1,2,0)

（I） ，， ，∴，， ， ，，平面BB1D1D，又平面B1MN， 平面B1MN平面BB1D1D                  （6分）

（II）设为平面平面A1C1P的一个法向量，P为DD1中点，P（0，0，1），，，则，也就是，，令，又,设MB1与平面A1C1P所成角为θ，

则，                           （ 12分

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角A－PB－D的大小为60°

（Ⅰ）证明:,

.……2分

又,……4分

∴  PD⊥面ABCD………6分

（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,

过O作OE⊥PB于点E,连结AE,

∵PD⊥面ABCD, ∴,

又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.

∴AO⊥PB,

∵,

∴,从而,

故就是二面角A－PB－D的平面角.……………………10分

∵ PD⊥面ABCD,  ∴PD⊥BD,

∴在Rt△PDB中, ,

又∵,   ∴,………………12分

 ∴ .

故二面角A－PB－D的大小为60°. …………………14分

（也可用向量解）