热门试卷

证明略

  由题意可知，这个几何体是直三棱柱，

且AC⊥BC，AC=BC=CC1.

（1）连接AC1，AB1.

由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1，

所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形.

由矩形性质得AB1过A1B的中点M.

在△AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1，

又AC1平面ACC1A1，

MN平面ACC1A1，

所以MN∥平面ACC1A1.

（2）因为BC⊥平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，

所以BC⊥AC1.

在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1.

又因为BC∩A1C=C，

所以AC1⊥平面A1BC.

由MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC.

（Ⅰ）证明略；

（Ⅱ）点到平面的距离为；

（Ⅲ）二面角的大小是.

（Ⅰ）证明：连结、、、，

∵、分别是棱、的中点，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得＝＝＝，∴四边形是菱形，∴．　　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）解：在面上的射影是，，∴．

∵、分别是棱、的中点，∴∥，∴．

由（Ⅰ）有，与是平面内两相交直线，∴平面．

设，则，即点到平面的距离等于．

（Ⅲ）解：取的中点，连结、，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得＝，∴，由（Ⅱ）有平面，∴是二面角的平面角．　　　　　　　　　　　　　　   

在中，，，

∴．　　　　　　　　　　　

在中，，，∴．

∴　二面角的大小是．　

（1）见解析（2）

（1）证明：以为坐标原点，的方向为轴的正半轴建立如图所示的空间坐标系，

设，  

则，，

无论点在上如何移动，都有 

（2）连接，设，连接.

//平面，平面平面//，

是的中点，是的中点，， 

设平面的法向量为，则，

取，得，易知平面的法向量为 

，

设二面角的平面角为，依题知，.

二面角的余弦值为.

解：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

则BB1⊥AB，BB1⊥BC，

又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=，

则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，

又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，

所以有平面AB1C⊥平面B1CB；-

（2）三棱锥A1—AB1C的体积．

 (1) (2)证明如下 （3）tan∠ADE=

（1）证：连结BF，与AE交于点H，连结OH，           

∵点O、H分别是线段DE、AE的中点，

∴OH∥AD，且OH=AD    

又∵BG∥AD，且BG=AD ，∴BG∥OH，且BG="OH"

∴四边形OHBG是平行四边形   ∴OG∥BH                

又 ∵BH平面ABEF，OG平面ABEF，

∴OG∥面ABEF     

（2）证明：∵正方形ABCD和ABEF所在平面互相垂直，AD⊥AB，AB=平面ABCD∩平面ABEF，

∴AD⊥平面ABEF， 又BF平面ABEF，∴AD⊥BF

在正方形ABEF中，BF⊥AE，AD∩AE=A，∴BF⊥平面ADE，     

由（1）知OG∥BF，∴OG⊥平面ADE，     又OG平面DEG，

∴平面DEG⊥平面ADE    

（3）作AM⊥DE，垂足为点M，DE=平面DEG∩平面ADE

由（2）已证得平面DEG⊥平面ADE，     则AM⊥平面DEG，

∴∠ADM即∠ADE为直线AD与平面DEG所成的角   

∴在Rt△ADE中，tan∠ADE=

（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）通过作，垂足为，连结，根据侧面底面，得底面．应用三垂线定理，得．（Ⅱ）立体几何中的角的计算，一般有两种思路，一是直接法，通过“一作，二证，三计算”等步骤，计算角；二是“间接法”，如利用图形与其投影的面积关系，确定角.本题首先设到平面的距离为，根据，求得．进一步确定，将角用反正弦函数表示.

试题解析：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．

因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，

故，由，，，得

，．

的面积．

连结，得的面积

设到平面的距离为，由于，得

，

解得．

设与平面所成角为，则．

所以，直线与平面所成的角为

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)二面角的正切值为．

试题分析：（Ⅰ）连结BD，因为E是AD的中点是CＥ的中点，所以ＢＤ过点，这样只需证即可；（Ⅱ）求二面角的正切值，需找出平面角，注意到PA⊥平面ABCD，F是线段PB的中点，取的中点，则⊥平面ABCD，过作，垂足为，则即为二面角的平面角．

试题解析：（Ⅰ）证明：连结，因为E是AD的中点，是CＥ的中点，且ABCE为菱形，，，所以过点，且是的中点，在中，又因为是的中点，，又平面，平面 ；

（Ⅱ）取的中点，因为是的中点，，又因为平面，平面，过作，垂足为，连结，则即为二面角的平面角，

不妨令，则，有平面几何知识可知，，所以二面角的正切值为 ．

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)

(Ⅰ) 在图1中,易得

连结,在中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知,

所以,所以,

理可证, 又,所以平面.

(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结,

因为平面,所以,

所以为二面角的平面角.

结合图1可知,为中点,故,从而

所以,所以二面角的平面角的余弦值为.

向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

则,,

所以,

设为平面的法向量,则

,即,解得,令,得

由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,

所以,即二面角的平面角的余弦值为.

解决折叠问题，需注意一下两点：1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变；2.折前折后的图形结合起来使用.如本题第一问，关键是由翻折不变性可知,借助勾股定理进行证明垂直关系；（2）利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角：关键是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂线定理定角法，先找到一个半平面的垂线，然后过垂足作二面角棱的垂线，再连接第三边，即可得到平面角。若考虑用向量来求：要求出二个面的法向量，然后转化为,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补，要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角，然后根据余弦值确定相等或互补即可。

【考点定位】考查折叠问题和二面角的求解，考查空间想象能力和计算能力.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）取中点H，先证明垂直于平面,进而证明平面；（Ⅱ）建立直角坐标系，构造向量,平面的法向量，利用公式求解.

试题解析：（Ⅰ）∵在矩形中，为的中点，

∴为等腰直角三角形，

∴,即.                （1分）

取中点H，连结，则，

在中，,

在中，又，

               （2分）

又                 （3分）

∴面，                   （4分）

而平面，                  （5分）

∴平面⊥平面.                 （6分）

（Ⅱ）解：分别以直线为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

∴ （7分）

设平面的一个法向量为

由得

即令则，

取                       （9分）

设为直线与平面所成的角，

则               （11分）

即直线与平面所成角的正弦值为        （12分）

（Ⅰ）连接交于点，连接，得到∥，进一步可得∥平面.                          

（Ⅱ）。

试题分析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，

连接交于点，连接，则是的中点

在中，点是的中点，

所以∥，                   

又，，

所以∥平面.                          （5分）

（Ⅱ）在中，，，点是的中点

所以，又，是平面内的相交直线，

所以平面，可知.                （7分）

又，是平面内的相交直线，交点是D，

知平面. 平面

在三棱柱中，为线段上的点，

过分别作于点，于点，连接

由平面，，得

又，、是平面内的相交直线

所以平面，

是在平面内的射影，

是直线和平面所成的角.                （12分）

设，由得，

可得，

所以在中，, 解得 （14分）

点评：中档题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系，角、距离、面积、体积等的计算，是常见题型，基本思路是将空间问题转化成为平面问题，利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作，二证，三计算”。利用“向量法”，通过建立空间直角坐标系，往往能简化解题过程。