热门试卷

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行常用以下两种方法:一是用线面平行的判定定理,二是用面面平行的性质.本题用这两种方法都行；

（Ⅱ）首先应考虑作出平面截三棱柱所得的截面.作出该截面便很容易得到二面角的平面角即为.

本题也可用向量解决.

试题解析：（Ⅰ）法一:连结，交于，连结，则，从而平面.

法二:取的中点,连结,易得平面,从而平面.

（Ⅱ）的中点,连结、,易得平面就是平面,

又平面,所以,所以就是该二面角的平面角.

.

解：(Ⅰ)当点为CD的中点时，平面PAC.        理由如下：

点分别为，的中点，. ，，

平面PAC.             

(Ⅱ)， ,          .

又是矩形，,

，.

 .   

，点是的中点, .

又,   .              

   .               

略

略

解：（1）如答图9－6－2所示，建立空间直角坐标系A一xyz，设P（0，0，z），

D（0，a，0），Q（1，y，0），

则=（1，y，－z），=（－1，a－y，0），且⊥．

∴·－1+y（a－y）=0y2－ay+1=0．

∴△=a2－4．

当a＞2时，△＞0，存在两个符合条件的Q点；

当a＝2时，△＝0，存在惟一一个符合条件的Q点；

当a＜2时，△＜0，不存在符合条件的Q点．

（2）当Q点惟一时，由5题知，a=2，y=1．

∴B（1，0，0），=（－1，0，z），=（－1，1，0）．

∴cos<，>===．

∴z=2．即P在距A点2个单位处．

略

略

解：（1）证明：连结，则是的中点，为的中点

故在△中， ，                           …………3分

且平面PAD，平面PAD，∴∥平面PAD       …………6分

（2）取的中点M,连结,,          …………8分

又平面⊥平面， 平面∩平面=,

,                                      ……………10分

         ……………14分

略

（Ⅰ）略

（Ⅱ）（i）异面直线与所成角的余弦值为

（ii）二面角的余弦值为

设，建立如图的空间坐标系，

，,

，．……………………………………2分

（Ⅰ），，

所以，  

平面，平面． ……………………………………4分

（Ⅱ）平面，，即

，，即．…………………6分

①，

，

所以异面直线与所成角的余弦值为……………………………10分

②平面和平面中，，

所以平面的一个法向量为；

平面的一个法向量为；……………………………………12分

，所以二面角的余弦值为…………………14分

证明：（I）因为ABCD为菱形，所以AB=BC

又∠ABC=60°，所以AB=BC=AC，   ………………1分

又M为BC中点，所以BC⊥AM  ………………2分

而PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC ………………4分

又PA∩AM=A，所以BC⊥平面AMN   ………………5分

（II）因为  ………………6分

又PA⊥底面ABCD，PA=2，所以AN=1

所以，三棱锥N—AMC的体积  ………………8分

  ………………9分

（III）存在 ………………10分

取PD中点E，连结NE，EC，AE，

因为N，E分别为PA，PD中点，所以………………11分

又在菱形ABCD中，  

所以NE，即MCEN是平行四边形  ………………12分

所以，NM//EC，

又EC平面ACE，NM平面ACE

所以MN//平面ACE， ………………13分

即在PD上存在一点E，使得NM//平面ACE，

此时

略

证明略

证明：

连结，设连结，是正方体 

是平行四边形

且                                        

又分别是的中点，且

是平行四边形                                        

面，面

面                                              4分

（2）面                        

又，                          

同理可证，                                         

又    面              8分

（3）设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则

（也可以通过定义证明二面角是直二面角）         12分