- 空间几何体
- 共15406题
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心，其中正确命题的命题是______．
正确答案
①②③④
解析
解：①若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
②若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，容易推出△PHA≌△PHB≌△PHC，则PA=PB=PC；正确．
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，正确．
故答案为：①②③④
正四棱锥的高为
正确答案
∵正四棱锥S-ABCD中高OS=
∴在Rt△SOA中，OA=
∴AC=4．
∴AB=BC=CD=DA=2
∵作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高．
∴在Rt△SOE中，
∵OE=
∴SE=
解析
∵正四棱锥S-ABCD中高OS=
∴在Rt△SOA中，OA=
∴AC=4．
∴AB=BC=CD=DA=2
∵作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高．
∴在Rt△SOE中，
∵OE=
∴SE=
（1）AC1⊥BC；
（2）
（3）面FAC1⊥面ACC1A1；
（4）三棱锥D-ACF的体积为
其中正确的个数为（ ）
正确答案
解析
AC1=2
故（1）错；
（2）连接AF，C1F，则易得AF=FC1=
又FD⊥AC1，则AD=DC1，故（2）正确；
（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，
则∠CDF为二面角F-AC1-C的平面角，CD=
即CD2+DF2=CF2，故二面角F-AC1-C的大小为90°，面FAC1⊥面ACC1A1，故（3）正确；
（4）由于CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则AD⊥平面CDF，
则VD-ACF=VA-DCF=
故选：C．
正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
设正四面体的边长为1，由题意知，
CH=
OH=
SH=
又 OH=SH-SO=
∴
∴
故选C．
在四面体P-ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则
正确答案
（
解析
解：取AB的中点为D，则由PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，
可得CD⊥AB，PD⊥AB，∴CD=
∴a2-
根据△PCD中，任意两边之和大于第三边，可得
求得（2-
综合①②③可得
故答案为：（
正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面成45°角，则此四棱椎的侧面积为______．
正确答案
4
解析
解：∵正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面成45°角，
∴四棱锥的侧高为
则此四棱椎的侧面积S=4×
故答案为：4
正确答案
解析
如图．
设P，S在底面的射影分别为N，M．
则M，N分别是正三角形BCD，和正三角形ABD的中心
且PS=MN，
又ON=OM=
∴MN=
即
∴AB=
∴底边AB的长为 
故答案为：
四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=1，则成为空间四面体时，AC的取值范围是______
正确答案
解析
当A接近于C重合时，AC的距离接近于0；
当ABCD接近平面图形时，AC距离接近最大是
所以AC∈
故答案为：
三棱锥的六条棱中有______对异面直线．
正确答案
3
解析
解：如图所示，
三棱锥A-BCD中，棱AB与CD是异面直线，棱BC与AD是异面直线，棱BD与AC是异面直线；
共3对．
故答案为：3．
三棱锥A-BCD，AB=a，CD=b，∠ABD=∠BDC，M，N分别为AD，BC的中点，P为BD上一点，则MP+NP 的最小值是______．
正确答案
解析
当P是中点时，MP是AB的一半，NP是CD的一半，又，AB=a，CD=b，
故可得出MP+NP 的最小值是
故答案为
Al0
B10cm
C10
D30cm
正确答案
解析
解：因为底面是一个正方形，一共有四条棱，皮球心距这四棱最小距离是10，
∵四条棱距离正方形的中心距离为10，所以皮球的表面与8根铁丝都有接触点时，半径应该是边长的一半
∴球的半径是10
故选B．
下列命题中正确命题的个数是（ ）
①经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；
②已知平面α、β，直线a、b，若α∩β=a，b⊥a，则b⊥α；
③有两个侧面垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；
⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
⑥底面是等边三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA，则三棱锥P-ABC是正三棱锥．
正确答案
解析
解：①若该点在某一条直线上，则不正确．
②根据面面垂直的判定，直线b不一定在平面β内，所以不正确．
③如果这个两个侧面互相平行，则不一定有侧棱垂直于底面，所以不正确．
④四个侧面两两全等不能保证侧棱与底面垂直．
⑤侧面都是等腰三角形若不是腰共顶点，则不正确．
⑥底面是等边三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA，不能保证顶点在底面的射影为中心，则不正确．
故选A
在正四棱锥S-ABCD中，点E是BC的中点，动点P在侧面SCD内运动，且总有PE⊥AC，则动点P的轨迹是（ ）
正确答案
解析
∵AC⊥BD，AC⊥SO，BD、SO是平面SBD内的相交直线
∴AC⊥平面SBD，可得AC⊥SD
∵MN是△SCD的中位线，∴MN∥SD可得AC⊥MN，
又∵正方形ABCD中，E、N分别为BC、CD的中点
∴AC⊥NE，
∵EN、MN是平面EMN内的相交直线，
∴AC⊥平面MNE，
因此不论P在线段MN的何处总有PE⊥AC，即动点P的轨迹是SC的中点与CD的中点的连线．
故选：D
如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
正确答案
解析
解：设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，
则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为60°．
故选C．
已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH∥DE交CE于H，作MG∥AD交BD于G，连结GH．设CM=x（0＜x＜3），则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C-GHM的体积y与变量x变化关系的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图
所以GM⊥HM，设CM=x（0＜x＜3），则HM=CM，GM=DM=3-x，
所以三棱锥的体积为V=
令V‘=-
体积在（0，2）随x的增大而增大，在（2，3）增大而减小，
V关于x的图象如下：
故选A．
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