热门试卷

解：如右图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

由中位线的性质知，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，

∴四边形EFGH为平行四边形．

由于两对角线所成角为45°，不妨设∠EFG=45°，

由题意又设对角线AC=6，BD=8，

则，，

连接EG，得=，

从而．

故填．

解：①若AC⊥BD，AB⊥CD则AD⊥BC

过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则AO⊥CD．

∵AB⊥CD，AO∩AB=A，∴CD⊥平面ABO．

∵BO平面ABO，∴CD⊥BO．同理BC⊥DO．则O为△BCD的垂心，∴CO⊥BD．

∵AO⊥BD，CO∩AO=O，∴BD⊥平面ACO．∴AC⊥平面ACO，∴AC⊥BD．故①正确

②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，

则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角或与异面直线AC与BD所成角互补，故②错误；

③若点O是四面体ABCD外接球的球心，

则点O到平面ABD三个顶点的距离相等，利用勾股定理易得

点O在平面ABD上的射影到ABD三个顶点的距离相等，即为△ABD的外心，故③正确；

④若四个面是全等的三角形，但不一定等边三角形，可能均为直角三角形，故四面体ABCD也不一定是正四面体，故④错误．

故答案为：①③

解：点O为三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的投影，

当PA=PB=PC时，如图1所示：

连接OA，OB，OC，

∵PA=PB=PC，

∵PO⊥底面ABC，

PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，

∵PA=PB=PC，

∴OA=OB=OC

所以O为三角形的外心．

O为△ABC的外心；

同理，当PA⊥BC，PB⊥AC时，AO⊥BC，BO⊥AC，

所以O为△ABC的垂心；

当P到三边AB，BC，CA的距离都相等，且点O在△ABC的内部时，

得出点O到三角形三边的距离相等，

所以点O为△ABC的内心．

故答案为：外、垂、内．

解：取BC的中点，即为H，连接SH，AH，

∵在三棱锥S-ABC中，SA=SC=SB=a，

SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，

∴SA⊥平面SBC，

∵SH⊂平面SBC，

∴SA⊥SH，

在直角三角形SAH中，sin∠HAS===

故答案为：．

解：如图所示：BD=

又BC=DC=1

∴面DBC是等边三角形①正确．

∵AC⊥DO，AC⊥BO

∴AC⊥平面DOB

∴AC⊥BD

②正确．

三棱锥D-ABC的体积=

③不正确．

故答案为：①②

解：设OA=a，OB=b，OC=c，则a＞b＞c＞0．取BC的中点D，连结OD、AD，

∵OD是△BCD的BC边上的中线，

∴S△OBD=S△OCD=S△OBC，因此VA-OBD=VA-OCD=VA-OBC，

即截面OAD将三棱锥O-ABC的体积分成两等分，可得S△OAD=S1，

∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥OB，OB⊥OC且OA⊥OC，

∵OB、OC是平面OBC内的相交直线，

∴OA⊥平面OBC，结合OD⊂平面OBC，得OA⊥OD．

∵Rt△OBC中，OB=b且OC=c，∴斜边BC=，得OD=BC=．

因此S△OAD=OA•OD=，即S1=．

同理可得S2=，S3=．

∵a＞b＞c＞0，

∴a2b2+a2c2＞a2b2+b2c2＞b2c2+a2c2，

可得＞＞，即S1＞S2＞S3．

故答案为：S1＞S2＞S3

解：∵A′D=A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故①正确

由①知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故②正确

三棱锥A′-FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′-FED的体积有最大值，故③正确

当（A′E）2+EF2=（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④不正确

故正确答案①②③