- 空间几何体
- 共15406题
已知四棱锥V-ABCD,底面ABCD是边长为3的正方形,VA⊥平面ABCD,且VA=4,则此四棱锥的侧面中,所有直角三角形的面积的和是( )
正确答案
解析
解:∵VA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴VA⊥BC
∵底面ABCD是正方形,可得BC⊥AB,VA∩AB=A
∴BC⊥平面VAB,结合VB⊂平面VAB,得BC⊥VB
同理可得CD⊥VD
∵VA⊥平面ABCD,AB、AD⊂平面ABCD,
∴VA⊥AB且VA⊥AD
综上所述,四棱锥的四个面都是直角三角形,
∵VA=4,AB=AD=3,∴VB=VD==5
由此可得,所有直角三角形的面积的和为.
故选:C
已知正四棱锥的底面边长是4cm,侧棱长是cm,则此四棱锥的高为 ______cm.
正确答案
2
解析
解:如图所示:SB=
,OB=
,
∴,
故答案为:2.
一个棱锥至少由几个面构成( )
正确答案
解析
解:在所有的棱锥中,只有三棱锥的面数最少,共4个面,
故一个棱锥至少由4个面构成,
故选B.
设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β,它的高是h,求这个所棱锥底面的内切圆半径.
正确答案
解:自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O,
再过O分别作AB,BC,CA的垂线,
垂足分别是E,F,G连接VE,VF,VG
根据三垂线定理知:VE⊥AB,VF⊥BC,VG⊥AC
因此∠VEO,∠VFO,∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,
由已知条件得
∠VEO=∠VFO=∠VGO=β,
在△VOE和△VOF中,由于VO⊥平面ABC,
所以VO⊥OE,VO⊥OF又因VO=VO,
∠VEO=∠VFO,于是△VEO≌△VFO
由此得到OE=OF同理可证OE=OG,因此OE=OF=OG
又因OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,
所以点O是△ABC的内切圆的圆心
在直角三角形VEO中,VO=h,∠VEO=β,
因此OE=hcotβ.即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ.
解析
解:自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O,
再过O分别作AB,BC,CA的垂线,
垂足分别是E,F,G连接VE,VF,VG
根据三垂线定理知:VE⊥AB,VF⊥BC,VG⊥AC
因此∠VEO,∠VFO,∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,
由已知条件得
∠VEO=∠VFO=∠VGO=β,
在△VOE和△VOF中,由于VO⊥平面ABC,
所以VO⊥OE,VO⊥OF又因VO=VO,
∠VEO=∠VFO,于是△VEO≌△VFO
由此得到OE=OF同理可证OE=OG,因此OE=OF=OG
又因OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,
所以点O是△ABC的内切圆的圆心
在直角三角形VEO中,VO=h,∠VEO=β,
因此OE=hcotβ.即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ.
棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S1、S2、S3,则( )
正确答案
解析
解:∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴S1<S2<S3
故选A.
若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=______.
正确答案
4
解析
解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为•a•a•sin60°,正棱柱的高为a,
∴(•a•a•sin60°)•a=16
,∴a=4,
故答案为:4.
若△ABC沿三条中位线折起后能拼接成一个三棱锥,则称△ABC为“和谐三角形”.设三个内角分别为A、B、C,则下列条件中能够确定△ABC为“和谐三角形”的有______.(请将符合题意的条件序号都填上)
①A:B:C=7:20:25;
②sinA:sinB:sinC=7:20:25;
③cosA:cosB:cosC=7:20:25;
④tanA:tanB:tanC=7:20:25.
正确答案
①③④
解析
解:①∵A:B:C=7:20:25,∴△ABC是锐角三角形,故是和谐三角形,
②∵sinA:sinB:sinC=7:20:25,∴△ABC是钝角三角形,故不是和谐三角形,
③∵cosA:cosB:cosC=7:20:25,∴△ABC是锐角三角形,故是和谐三角形,
④tanA:tanB:tanC=7:20:25,∴△ABC是锐角三角形,故是和谐三角形,
故答案为:①③④.
给出下列命题:①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥;②侧棱都相等的棱锥是正棱锥;③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥;④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥,其中正确命题的是______.
正确答案
①
解析
解:根据正棱锥的定义:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.
可以判断①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥,符合定义,是正棱锥;故正确.
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥不正确;因为底面不一定是正多边形.故错误.
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥不正确;底面不一定是正多边形.故错误.
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥;底面不一定是正多边形.错误.
其中正确命题的是①
故答案为:①.
三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,∠ABC=90°,且PA=AB=BC=1,若空间中存在一个点到P、A、B、C四个点的距离相等,则这个距离是:______.
正确答案
解析
解:∵三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,∠ABC=90°,且PA=AB=BC=1,
∴可构造棱长为1的正方体,P、A、B、C为其部分顶点,
∴空间中存在一个点到P、A、B、C四个点的距离相等,
∴此点为正方体的中心,
∴这个距离是体对角线的,
故.
等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD=1,以AD为折痕将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出以下结论:
①BD⊥AC
②∠BAC=60°
③异面直线AB与CD之间的距离为
④点D到平面ABC的距离为
⑤直线AC与平面ABD所成的角为
其中正确结论的序号是______.
正确答案
①②③④⑤
解析
解:∵AD⊥BD,AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,∴∠BDC=90°,
∴BD⊥平面ACD,∴BD⊥AC,∴①正确;
又知AD=BD=CD=1,∴△ABC为正三角形,∠BAC=60°,∴②正确;
以D为原点,DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
易知A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),
∴=(1,0,-1),
=(0,1,-1),
=(0,1,0),
设向量n=(x,y,z),=0,
=0
得x-z=0,y=0,令z=1得n=(1,0,1),
∴异面直线AB与DC之间的距离d==
,故③正确;
∵△ABC边长为,.∴S△ABC=
,
由VA-BDC=VD-ABC得×(
×1×1)×1=
×
×h,∴h=
,故④正确;
∵CD⊥平面ABD,∴∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角,易知∠CAD=45°,故⑤正确;
故答案为:①②③④⑤.
设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA、PB的延长线分别交于Q、R,则和式+
+
( )
正确答案
解析
解:设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,
则vS-PQR=S△PQR•h=
(
PQ•PRsinα)•PS•sinβ.
另一方面,记O到各面的距离为d,则VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,
即S△PQR•d=
S△PRS•d+
S△PRS•d+
•d
=×
PQ•PRsinα+
×
PS•PRsinα+
×
PQ•PS•sinα,
故有:PQ•PR•PS•sinβ=d(PQ•PR+PR•PS+PQ•PS),
即+
+
=
=常数.
故选:D.
四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,如下列结论中不正确的是.( )
正确答案
解析
解:由于ABCD 为正方形,SD⊥底面ABCD,故AD是SA在底面ABCD内的射影,再由正方形ABCD中,AB⊥AD,可得AB⊥SA,故选项A正确.
由于正方形ABCD中,BC∥AD,AD⊂面ABCD,AC不在面ABCD 内,故有BC∥平面SAD,故选项B正确.
由于正方形ABCD中,BC∥AD,故锐角∠SAD即为BC与SA所成的角.由于AD⊥平面SDC,故BC⊥平面SDC,而SC在平面SDC内,故有AD⊥SC,
故BC与SA所成的角不等于AD与SC所成的角,故选项C不正确.
设AC与BD的交点为O,则由题意可得AC垂直于平面SBD,SA与平面SBD成的角为∠ASO,SC与平面SBD成的角为∠CSO,AO=SO.
由于tan∠ASO=,tan∠ASO=
,故tan∠ASO=tan∠ASO,故有∠ASO=∠ASO,故选项D正确.
故选C.
在空间四边形ABCD中,满足______时,对角线AC和BD垂直.(不必写出所有的答案)
正确答案
正四面体(多个答案)
解析
解:空间四边形ABCD为正四面体时,
三角形BCD、三角形ABD 为 正三角形
∴CO⊥BD,AO⊥BD,
又AO∩CO=O
∴BD⊥平面AOC
∵AC 属于 平面AOC
∴AC⊥BD.
故答案为:正四面体.
已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形,侧棱长为3,则三棱锥的高是 ______.
正确答案
解析
解:如图,设正三棱锥的顶点P在底面上的射影为D,
则在直角三角形PAD中,PA=3,AD=,
∴三棱锥的高PD==
,
故答案为:.
在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ______个.
正确答案
4
解析
解:如图底面是矩形,一条侧棱垂直底面,
那么它的四个侧面都是直角三角形.
故答案为:4.
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