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题型: 单选题
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单选题

已知四棱锥V-ABCD,底面ABCD是边长为3的正方形,VA⊥平面ABCD,且VA=4,则此四棱锥的侧面中,所有直角三角形的面积的和是(  )

A12

B24

C27

D36

正确答案

C

解析

解:∵VA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴VA⊥BC

∵底面ABCD是正方形,可得BC⊥AB,VA∩AB=A

∴BC⊥平面VAB,结合VB⊂平面VAB,得BC⊥VB

同理可得CD⊥VD

∵VA⊥平面ABCD,AB、AD⊂平面ABCD,

∴VA⊥AB且VA⊥AD

综上所述,四棱锥的四个面都是直角三角形,

∵VA=4,AB=AD=3,∴VB=VD==5

由此可得,所有直角三角形的面积的和为

故选:C

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题型:填空题
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填空题

已知正四棱锥的底面边长是4cm,侧棱长是cm,则此四棱锥的高为 ______cm.

正确答案

2

解析

解:如图所示:SB=,OB=

故答案为:2.

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题型: 单选题
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单选题

一个棱锥至少由几个面构成(  )

A三个

B四个

C五个

D六个

正确答案

B

解析

解:在所有的棱锥中,只有三棱锥的面数最少,共4个面,

故一个棱锥至少由4个面构成,

故选B.

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题型:简答题
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简答题

设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β,它的高是h,求这个所棱锥底面的内切圆半径.

正确答案

解:自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O,

再过O分别作AB,BC,CA的垂线,

垂足分别是E,F,G连接VE,VF,VG

根据三垂线定理知:VE⊥AB,VF⊥BC,VG⊥AC

因此∠VEO,∠VFO,∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,

由已知条件得

∠VEO=∠VFO=∠VGO=β,

在△VOE和△VOF中,由于VO⊥平面ABC,

所以VO⊥OE,VO⊥OF又因VO=VO,

∠VEO=∠VFO,于是△VEO≌△VFO

由此得到OE=OF同理可证OE=OG,因此OE=OF=OG

又因OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,

所以点O是△ABC的内切圆的圆心

在直角三角形VEO中,VO=h,∠VEO=β,

因此OE=hcotβ.即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ.

解析

解:自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O,

再过O分别作AB,BC,CA的垂线,

垂足分别是E,F,G连接VE,VF,VG

根据三垂线定理知:VE⊥AB,VF⊥BC,VG⊥AC

因此∠VEO,∠VFO,∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,

由已知条件得

∠VEO=∠VFO=∠VGO=β,

在△VOE和△VOF中,由于VO⊥平面ABC,

所以VO⊥OE,VO⊥OF又因VO=VO,

∠VEO=∠VFO,于是△VEO≌△VFO

由此得到OE=OF同理可证OE=OG,因此OE=OF=OG

又因OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,

所以点O是△ABC的内切圆的圆心

在直角三角形VEO中,VO=h,∠VEO=β,

因此OE=hcotβ.即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ.

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题型: 单选题
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单选题

棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S1、S2、S3,则(  )

AS1<S2<S3

BS3<S2<S1

CS2<S1<S3

DS1<S3<S2

正确答案

A

解析

解:∵

∴S1<S2<S3

故选A.

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题型:填空题
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填空题

若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=______

正确答案

4

解析

解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为•a•a•sin60°,正棱柱的高为a,

∴(•a•a•sin60°)•a=16,∴a=4,

故答案为:4.

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题型:填空题
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填空题

若△ABC沿三条中位线折起后能拼接成一个三棱锥,则称△ABC为“和谐三角形”.设三个内角分别为A、B、C,则下列条件中能够确定△ABC为“和谐三角形”的有______.(请将符合题意的条件序号都填上)

①A:B:C=7:20:25;             

②sinA:sinB:sinC=7:20:25;

③cosA:cosB:cosC=7:20:25;   

④tanA:tanB:tanC=7:20:25.

正确答案

①③④

解析

解:①∵A:B:C=7:20:25,∴△ABC是锐角三角形,故是和谐三角形,

②∵sinA:sinB:sinC=7:20:25,∴△ABC是钝角三角形,故不是和谐三角形,

③∵cosA:cosB:cosC=7:20:25,∴△ABC是锐角三角形,故是和谐三角形,

④tanA:tanB:tanC=7:20:25,∴△ABC是锐角三角形,故是和谐三角形,

故答案为:①③④.

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题型:填空题
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填空题

给出下列命题:①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥;②侧棱都相等的棱锥是正棱锥;③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥;④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥,其中正确命题的是______

正确答案

解析

解:根据正棱锥的定义:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.

可以判断①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥,符合定义,是正棱锥;故正确.

②侧棱都相等的棱锥是正棱锥不正确;因为底面不一定是正多边形.故错误.

③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥不正确;底面不一定是正多边形.故错误.

④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥;底面不一定是正多边形.错误.

其中正确命题的是①

故答案为:①.

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题型:填空题
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填空题

三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,∠ABC=90°,且PA=AB=BC=1,若空间中存在一个点到P、A、B、C四个点的距离相等,则这个距离是:______

正确答案

解析

解:∵三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,∠ABC=90°,且PA=AB=BC=1,

∴可构造棱长为1的正方体,P、A、B、C为其部分顶点,

∴空间中存在一个点到P、A、B、C四个点的距离相等,

∴此点为正方体的中心,

∴这个距离是体对角线的

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题型:填空题
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填空题

等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD=1,以AD为折痕将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出以下结论:

①BD⊥AC

②∠BAC=60°

③异面直线AB与CD之间的距离为

④点D到平面ABC的距离为

⑤直线AC与平面ABD所成的角为

其中正确结论的序号是______

正确答案

①②③④⑤

解析

解:∵AD⊥BD,AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,∴∠BDC=90°,

∴BD⊥平面ACD,∴BD⊥AC,∴①正确;

又知AD=BD=CD=1,∴△ABC为正三角形,∠BAC=60°,∴②正确;

以D为原点,DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

易知A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),

=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),

设向量n=(x,y,z),=0,=0

得x-z=0,y=0,令z=1得n=(1,0,1),

∴异面直线AB与DC之间的距离d==,故③正确;

∵△ABC边长为,.∴S△ABC=

由VA-BDC=VD-ABC×(×1×1)×1=××h,∴h=,故④正确;

∵CD⊥平面ABD,∴∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角,易知∠CAD=45°,故⑤正确;

故答案为:①②③④⑤.

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题型: 单选题
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单选题

设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA、PB的延长线分别交于Q、R,则和式++(  )

A有最大值而无最小值

B有最小值而无最大值

C既有最大值又有最小值,两者不等

D是一个与面QPS无关的常数

正确答案

D

解析

解:设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,

则vS-PQR=S△PQR•h=PQ•PRsinα)•PS•sinβ.

另一方面,记O到各面的距离为d,则VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS

S△PQR•d=S△PRS•d+S△PRS•d+•d

=×PQ•PRsinα+×PS•PRsinα+×PQ•PS•sinα,

故有:PQ•PR•PS•sinβ=d(PQ•PR+PR•PS+PQ•PS),

++==常数.

故选:D.

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题型: 单选题
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单选题

四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,如下列结论中不正确的是.(  )

AAB⊥SA

BBC∥平面SAD

CBC与SA所成的角等于AD与SC所成的角

DSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

正确答案

C

解析

解:由于ABCD 为正方形,SD⊥底面ABCD,故AD是SA在底面ABCD内的射影,再由正方形ABCD中,AB⊥AD,可得AB⊥SA,故选项A正确.

由于正方形ABCD中,BC∥AD,AD⊂面ABCD,AC不在面ABCD 内,故有BC∥平面SAD,故选项B正确.

由于正方形ABCD中,BC∥AD,故锐角∠SAD即为BC与SA所成的角.由于AD⊥平面SDC,故BC⊥平面SDC,而SC在平面SDC内,故有AD⊥SC,

故BC与SA所成的角不等于AD与SC所成的角,故选项C不正确.

设AC与BD的交点为O,则由题意可得AC垂直于平面SBD,SA与平面SBD成的角为∠ASO,SC与平面SBD成的角为∠CSO,AO=SO.

由于tan∠ASO=,tan∠ASO=,故tan∠ASO=tan∠ASO,故有∠ASO=∠ASO,故选项D正确.

故选C.

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题型:填空题
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填空题

在空间四边形ABCD中,满足______时,对角线AC和BD垂直.(不必写出所有的答案)

正确答案

正四面体(多个答案)

解析

解:空间四边形ABCD为正四面体时,

 三角形BCD、三角形ABD 为 正三角形

∴CO⊥BD,AO⊥BD,

又AO∩CO=O

∴BD⊥平面AOC

∵AC 属于 平面AOC

∴AC⊥BD.

故答案为:正四面体.

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题型:填空题
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填空题

已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形,侧棱长为3,则三棱锥的高是 ______

正确答案

解析

解:如图,设正三棱锥的顶点P在底面上的射影为D,

则在直角三角形PAD中,PA=3,AD=

∴三棱锥的高PD==

故答案为:

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题型:填空题
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填空题

在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有 ______个.

正确答案

4

解析

解:如图底面是矩形,一条侧棱垂直底面,

那么它的四个侧面都是直角三角形.

故答案为:4.

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