- 空间几何体
- 共15406题
M、N分别是三棱锥A-BCD的棱AB、CD的中点，则下列各式成立的是（ ）
AMN=
BMN＜
CMN＞
DMN与
正确答案
解析
解：取AD中点E，
连接ME，NE，
MN＜ME+EN=
故选B．
已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，求相邻两侧面所成角的余弦值．
正确答案
解：正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，如图所示；
作PO⊥平面ABC，垂足为O，
连接AO并延长，交BC于点N，则AN⊥BC，∠PAO=45°；
过点B作BM⊥PA，垂足为M，连接CM，
则CM⊥PA，且CM=BM；
∴∠BMC是二面角B-PA-C的平面角；
设AB=a，PA=b，AM=x，则PM=b-x；
在△ABC中，AN=
在Rt△PAO中，PO=AO=
∴PA=
在△PAB中，BM⊥PA，
∴BM2=AB2-AM2=PB2-PM2，
即a2-x2=b2-（b-x）2，
∴x=
∴BM2=a2-x2=a2-
在△BCM中，cos∠BMC=
∴该三棱锥相邻两侧面所成角的余弦值是
解析
解：正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，如图所示；
作PO⊥平面ABC，垂足为O，
连接AO并延长，交BC于点N，则AN⊥BC，∠PAO=45°；
过点B作BM⊥PA，垂足为M，连接CM，
则CM⊥PA，且CM=BM；
∴∠BMC是二面角B-PA-C的平面角；
设AB=a，PA=b，AM=x，则PM=b-x；
在△ABC中，AN=
在Rt△PAO中，PO=AO=
∴PA=
在△PAB中，BM⊥PA，
∴BM2=AB2-AM2=PB2-PM2，
即a2-x2=b2-（b-x）2，
∴x=
∴BM2=a2-x2=a2-
在△BCM中，cos∠BMC=
∴该三棱锥相邻两侧面所成角的余弦值是
①依据题意制作这个几何体；
②这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形；
③若正方形边长为a，则每个面的三角形面积为多少．
正确答案
解：①略．
②这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．
由平几知识可知DE=DF，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，
所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP为直角三角形．
③由②可知，DE=DF=
所以S△DPE=S△DPF=
解析
解：①略．
②这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP．
由平几知识可知DE=DF，∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°，
所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△EFP、△DEP为直角三角形．
③由②可知，DE=DF=
所以S△DPE=S△DPF=
下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：选项A：由五个平面围成的多面体也可以是三棱柱；故不正确；
选项B：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆，正确；
选项C：仅有一组对面平行的六面体也可以是四棱柱，故不正确；
选项D：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体也可以是八面体，故不正确．
故选B．
正四棱锥的高为20cm，侧棱与底面所成角为45°，求它的体积．
正确答案
故OD=SO=20cm；
故BD=40cm；
故SABCD=
故V=
解析
故OD=SO=20cm；
故BD=40cm；
故SABCD=
故V=
如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）
正确答案
解析
解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，
所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，
故A，C正确，
且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，
故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．
故选B
正确答案
4
解析
解：题题意SA⊥圆O所在的平面，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，可得出AB，BC垂直
由此两个关系可以证明出CB垂直于面SAB，由此可得△ADB，△SAC，△ABC，△SBC都是直角三角形
故图中直角三角形的个数是4个
故答案为：4．
三棱台ABC-A1B1C1，△ABC的面积是4，△A1B1C1的面积是1，棱台的高是2，求截得棱台的棱锥的高是 ______．
正确答案
2
解析
解：∵△ABC的面积是4，△A1B1C1的面积是1，
∴两个三角形的边长的比是1：2
设截去的部分棱锥高是h，
∴
∴h=2
故答案为：2
若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，则棱长为5，则这个棱台的高是______．
正确答案
解析
解：由题意，
∵上、下底面的边长为2和8，
∴上、下底面的高分别为2×sin60°=
则由正三棱台的结构特征可知，
若高为h，有h2+（
即h2+12=25，
则h=
故答案为：
一动点P由正四面体ABCD的B点出发，经过△ACD的中心后到达AD中点，若AB=2，则P点行走的最短路程是（ ）
A
B
C
D其他
正确答案
解析
设△ACB边AC的中点是E，△ACD的中心是G，AD中点是F，则最短路程为BE+EG+GF，
其和等于
故选A．
正确答案
解析
证明：∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形
又∵PA⊥圆O所在平面，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．
且BC在这个平面内
∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，
∴BC⊥平面PAC，
∴△PBC是直角三角形．
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是，4．
故选D．
摆放在桌面上的三个半径为1的球两两相切，在桌面与三球之间的空间中再摆入一个小球与三球和桌面都相切，求小球的半径．
正确答案
解：设三个半径为1的球的球心分别为O1，O2，O3，
与桌面三个切点分别为A，B，C，如下图所示：
则三棱柱ABC-O1O2O3，是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，
则小球球心O在底面ABC上的投影必为△ABC的中心H，
设小球半径为R，
在△AOH中，
AO=R+1，AH=
则OH=
又∵R+OH=1
解得R=
解析
解：设三个半径为1的球的球心分别为O1，O2，O3，
与桌面三个切点分别为A，B，C，如下图所示：
则三棱柱ABC-O1O2O3，是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，
则小球球心O在底面ABC上的投影必为△ABC的中心H，
设小球半径为R，
在△AOH中，
AO=R+1，AH=
则OH=
又∵R+OH=1
解得R=
已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为2，则侧棱与底面所成的角的大小为______．
正确答案
解析
解：如图所示，
连接AC，BD，相交于点O，连接OP．
∵四棱锥P-ABCD是正四棱锥，
∴OP⊥底面ABCD．
∴∠PAO是侧棱与底面所成的角．
∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，
∴AO=
在Rt△OAP中，cos∠PAO=
∴
故答案为：
如图所示的四个几何体，其中判断正确的是（ ）
正确答案
解析
解：（1）满足前后面互相平行，其余的面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，∴（1）是棱柱，故A错误；
（2）中不满足相邻四边形的公共边互相平行，∴（2）不是棱柱，故B错误；
（3）中上下两个圆面不平行，不符合圆台的结构特征，∴（3）不是圆台，故C错误；
（4）符合棱锥的结构特征，∴（4）是棱锥，故D正确．
故选：D．
下列三种叙述，其中正确的有
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台．
②两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台．
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．（ ）
正确答案
解析
解：①不正确，因为根据棱台的定义，要求棱锥底面和截面平行．
②不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点．
③不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点．
综上，三个命题全部不正确，
故选 A．
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