- 空间几何体
- 共15406题
如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
正确答案
解析
解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；
图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③是棱锥．
图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．
故选C．
下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、当四棱柱的底面是梯形时，则不是平行六面体，故A不对；
B、直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是平行四边形，它不是长方体，故B不对；
C、根据长方体的结构特征知，该几何体是长方体，故C对；
D、当四棱柱的侧棱与底面不垂直时，则不是长方体，故D不对；
故选C．
A
B
C
D2
正确答案
解析
∴A（0，2，0），B（4，0，0），P（0，0，3），
则AB的中点Q（2，1，0）；
∴|PQ|=
故选：C．
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是AB，BC，B1C1的中点，则下列说法正确的是______ （写出所有正确命题的编号）．
①P在直线EF上运动时，GP始终与平面AA1C1C平行；
②点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；
③点M是平面A1B1C1D1上到点！？和．距离相等的点，则点M的轨迹是一条直线；
④以正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA1异面的有10条；
⑤点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点E的距离的平方差为3，则点P的轨迹为拋物线．
正确答案
①②③⑤
解析
解：①P在直线EF上运动时，EF∥AC，GF∥C1C，可知面GEF∥平面AA1C1C，GP⊂面GEF，所以①成立；
②Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；如图（2）三角形AD1Q面积不变，C到平面距离不变，体积为定值，故②正确；
③M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和 C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段，线段A1D1满足题意，故正确．
④以正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA1异面的有BC、BC1、B1C、B1C1、C1D1、B1D1、CD、CD1、C1D、BD1、B1D、BD共12条，故不正确；
⑤点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点E的距离的平方差为3，
则点P到点E的距离的平方，等于点P到直线A1D1的距离的平方减去3
点P到直线AD的距离的平方=点P到直线A1D1的距离平方减去4．
所以，点P到点E的距离的平方=点P到直线AD的距离的平方加上1，点P的轨迹是以E为焦点的抛物线的一部分，故正确．
故答案为：①②③⑤．
已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，
∴可抽象为三棱锥
则有2F-V=4
故选B
下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：由5个面成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故 A不正确．
根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B正确．
仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C 不正确．
有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥不对，
因为棱锥的定义中还要求这些三角形还必须有公共的定点，故D不正确．
综上，只有B正确，
故选B．
已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为______．
正确答案
解析
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴2πr=πl，
∴l=2r，
∵圆锥的表面积为πr2+πrl=πr2+2πr2=6π，
∴r2=2，
即r=
故答案为：
正确答案
解：由题意可得 EH∥FG∥BD，EF∥GH∥AC．∵AC=a，BD=b，设 
由三角形相似可得 EH=x•BD，EF=（1-x）•AC．
故矩形EFGH的面积为 EH•EF=x（1-x）ab，∴当x=
故E、F、G、H在三棱锥的对应边的中点位置时，矩形吸光板的吸光量最大．
解析
解：由题意可得 EH∥FG∥BD，EF∥GH∥AC．∵AC=a，BD=b，设
由三角形相似可得 EH=x•BD，EF=（1-x）•AC．
故矩形EFGH的面积为 EH•EF=x（1-x）ab，∴当x=
故E、F、G、H在三棱锥的对应边的中点位置时，矩形吸光板的吸光量最大．
在三棱锥S-ABC中，AB=AC，SB=SC．求证：SA⊥BC．
正确答案
证明：取BC中点O，连接OS，OA，
∵AB=AC，SB=SC．
∴OS⊥BC，OA⊥BC，
∵OS∩OA=O，
∴BC⊥平面OAC，
∵SA⊂平面OAC，
∴SA⊥BC
解析
证明：取BC中点O，连接OS，OA，
∵AB=AC，SB=SC．
∴OS⊥BC，OA⊥BC，
∵OS∩OA=O，
∴BC⊥平面OAC，
∵SA⊂平面OAC，
∴SA⊥BC
正三棱锥P-ABC的高PO=4，斜高为
正确答案
解析
可知OD=
则AB=4
底面面积是12
中截面面积是
故答案为：3
棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个（ ）
正确答案
解析
解：正三角形的每一个内角为60°，
根据顶点出发的几个内角的和应小于360°，
可得以六个这样的正三角形为侧面不能围成棱锥，
所以这样侧面的个数最多有5个．
故选：C．
△ABC的三边长分别为3、4、5，P为平面ABC外一点，它到其三边的距离都等于2，且P在平面ABC上的射影O位于△ABC的内部，则PO等于（ ）
A1
B
C
D
正确答案
解析
解：如图所示，PD、PE、PF分别表示点P到三条边的距离，由题意可得PD=PE=PF=2，
在RT△POD，RT△POE，RT△POF中，PO公用，由勾股定理可得OD=OE=OF，
∴射影O应为△ABC的内心．
设OD=r，在Rt△ABC中，根据面积可得
在RT△POD，
故选D．
（2015秋•北京校级期中）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
①若AC=BD，则四边形EFGH是______；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH是______．
正确答案
菱形
矩形
解析
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC=BD
∴EF=FG
∴四边形EFGH是菱形．
②由①知四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：菱形，矩形
过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的______点；
（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的______心；
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的______心．
正确答案
解：（1）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．
∵∠C=90°，
∴O在Rt△ABC的外心在斜边AB的中点．
（2）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．
（3）连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，
∵PA，PB，PC两两垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，
∴可以得到PA⊥面PBC
，而∵BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC
∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，
∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；
同理可以证明才HC⊥AB，又BG⊥AC．
∴O是△ABC的垂心．
解析
解：（1）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．
∵∠C=90°，
∴O在Rt△ABC的外心在斜边AB的中点．
（2）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．
（3）连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，
∵PA，PB，PC两两垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，
∴可以得到PA⊥面PBC
，而∵BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC
∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，
∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；
同理可以证明才HC⊥AB，又BG⊥AC．
∴O是△ABC的垂心．
甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为______．
正确答案
解析
解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上，
如图，将此正四面体ABCD补成正方体BD′，
其中A′、B′、D′也在球面上，
设任意两个氢原子之间的距离为x，则2a=BD′．
BD′、AB（x）、AA′之间的关系是x=AB=
因此
故答案为：
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