- 空间几何体
- 共15406题
正确答案
（8，10）
解析
解：如图所示，设
∴GH=5k，EH=4（1-k），∴周长=8+2k．
又∵0＜k＜1，∴周长的范围为（8，10）．
故答案为：（8，10）
一个圆台的上下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，圆台的表面积为______．
正确答案
1100π
解析
解：圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示；
∴r=10R=20母线与底面的夹角为60°，
∴l=2（R-r）=20
圆台的表面积为
S=S底+S侧
=（πr2+πR2）+（πr+πR）l
=（100π+400π）+（10π+20π）×20
=1100π．
故答案为：1100π．
若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由．
正确答案
解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，
如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，
截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，
所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，
其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点．
解析
解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，
如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，
截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，
所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，
其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点．
如果棱台的两底面积分别是S、S‘，中截面（过棱台高的中点且平行于底面的截面）的面积是S0求证：
正确答案
证明：设上底和下底的边长分别是a，b，
根据在侧面上三条边组成梯形的上底，下底和中位线，
得到梯形的中位线长度是
∵棱台的两底面与中截面是相似的，
∴三个面积之比等于边长之比的平方，
即s′=λa2，①
s=λb2，②
把三个式子两边开方，
a+b=
∴
解析
证明：设上底和下底的边长分别是a，b，
根据在侧面上三条边组成梯形的上底，下底和中位线，
得到梯形的中位线长度是
∵棱台的两底面与中截面是相似的，
∴三个面积之比等于边长之比的平方，
即s′=λa2，①
s=λb2，②
把三个式子两边开方，
a+b=
∴
如图所示几个空间图形中，虚线、实线使用不正确的有（ ）
正确答案
解析
解：根据棱柱的放置和“看见的棱用实线、看不见的棱用虚线”，
则①②③正确，④错误，
故选D．
正确答案
解析
解：第一个正方体已知A，B，C，
第二个正方体已知A，C，D，
第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，
则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F．
故选D．
在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是（ ）
正确答案
解析
解：此正三棱锥的侧面展开图如图
∴当D、E处于如图位置时，截面△ADE的周长最小，即为AA′的长
设∠APB=α，过P作PO⊥AA′，则O为AA′中点，∠APO=
在等腰三角形PAB中，sin
∴cosα=1-2sin2
∴sin
∴AA′=2AO=2AP×sin
故选C
三棱锥的底面是两条直角边长分别为6cm和8cm的直角三角形，各侧面与底面所成的角都是60°，则棱锥的高为______．
正确答案
解析
解：如图，设三棱锥的顶点P在底面上的射影为D，
∵各侧面与底面所成的角都是60°
∴点P在底面的投影是直角三角形的内心，
作DF⊥BC，则DF=2，∠PFD=60°
∴PD=
故答案为：
已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
正确答案
解：（1）如图所示，
∵PO⊥平面ABCD，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，
∴∠PAO=45°，∴PO=OA=
分别取AB，A1B1的中点E，E1，连接OE，O1E1．
则PE=
∴斜高EE1=PE-PE1=
∴棱台的侧面积S侧=
（2）∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，
∴
∴EE1=
∴OO1=
解析
解：（1）如图所示，
∵PO⊥平面ABCD，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，
∴∠PAO=45°，∴PO=OA=
分别取AB，A1B1的中点E，E1，连接OE，O1E1．
则PE=
∴斜高EE1=PE-PE1=
∴棱台的侧面积S侧=
（2）∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，
∴
∴EE1=
∴OO1=
（2015秋•陕西校级月考）一个正四棱台的斜高是12cm，侧棱长是13cm，侧面积是720cm2．求它的上、下底面的边长．
正确答案
解：设上底面边长为xcm，下底面边长为ycm，
由题意得
即
解得
所以上底面边长为10cm，下底面边长为20cm．
解析
解：设上底面边长为xcm，下底面边长为ycm，
由题意得
即
解得
所以上底面边长为10cm，下底面边长为20cm．
正确答案
解析
解：由ABCD-A1B1C1D1是正方体，得A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故A正确；
∵AH⊥面A1BD，∴AH⊥A1B，又CD1∥A1B，可得直线AH与CD1的成角为90°，故B正确；
连接AC1，由三垂线定理及线面垂直的判定可得AC1⊥面A1DB，再由过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条可得AH与AC1重合，可得C正确；
直线AH与BB1所成的角，即为AH与AA1所成的角，设为θ，
由正方体棱长为1，可得正三棱锥的底面边长为
故选：D．
已知一个棱锥被平行于底面的两个平面截为三部分，最上面的部分是一个小棱锥，其余两部分都是棱台，若这三部分的高相等，则上、中、下三部分的体积之比为______．
正确答案
1：7：19
解析
则以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体
相似比为1：2：3
根据相似的性质三个锥体的相似比为：13：23：33=1：8：27
则上、中、下三部分的体积之比V1：V2：V3=1：（8-1）：（27-8）=1：7：19
故答案为：1：7：19．
已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球心为O半径为1的球面上，且满足PA、PB、PC两两垂直，当PC•AB的最大值时，三棱锥O-PAB的高为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设PA=a，PB=b，PC=c，由题设可知，三棱锥就是内接球的长方体的一部分，其体对角线就是球的直径2．
∴a2+b2+c2=4．
∴4≥2c
∴c
∴PC•AB=c
当PC•AB的最大值时，三棱锥O-PAB的高为
故选B．
若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
正确答案
解析
解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；
n大于4，也不成立；
在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；
同理n＞5，不成立．
故选：B．
关于正四棱锥P-ABCD，给出下列命题：①异面直线PA，BD所成的角为直角；②侧面为锐角三角形；③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角；④相邻两侧面所成的二面角为钝角，其中正确的命题序号是______．
正确答案
①②③④
解析
②侧面三角形底角不会为钝角，若顶角为钝角，则构不成正四棱锥，所以是锐角三角形，正确．
③如图所示∵OB＞OE∴侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角，正确；
④如图：因为BO=OD=OA，在直角三角形AOP中，可得OA＞OF，所以BO=OD＞OF，
所以∠BFO=∠DFO＞45°
所以cos∠BFD＜0则相邻两侧面所成的二面角为钝角，正确．
故答案为：①②③④．
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