- 空间几何体
- 共15406题
正确答案
两点间的连接线BB‘即是截面周长的最小值．
∵BB′∥CD，
∴△ADB′∽△B′FD，
∴DF/DB’=DB’/AD
其中AD=2a，DB’=a．
∴DF=
又△AEF∽△ACD，
∴EF/CD=AF/AD，其中CD=a，AD=2a，AF=2a-
∴EF=
∴截面周长最小值是BB’=2a+
解析
两点间的连接线BB‘即是截面周长的最小值．
∵BB′∥CD，
∴△ADB′∽△B′FD，
∴DF/DB’=DB’/AD
其中AD=2a，DB’=a．
∴DF=
又△AEF∽△ACD，
∴EF/CD=AF/AD，其中CD=a，AD=2a，AF=2a-
∴EF=
∴截面周长最小值是BB’=2a+
如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是______．
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补；
③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆；
④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上．
正确答案
②
解析
解：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立，例如圆锥的轴截面与底面垂直，另一面与底面成锐角；
③如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；
④等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确．故选②．
故答案为：②
在棱长为1的正方体中过相邻三个面上的对角线截得一个正三棱锥，则它的高是（ ）
A1
B
C
D
正确答案
解析
棱锥C′-CBD的体积为：
又棱锥C-BDC′的体积为：
它们是同一个几何体的体积，
∴
∴h=
故选C．
正确答案
证明：连接AC，在△ABC中，
∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC
在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，
∴QP∥AC，∴MN∥QP
同理，连接BD可证MQ∥NP
∴MNPQ是平行四边
取AC的中点K，连BK，DK
∵AB=BC，∴BK⊥AC，
∵AD=DC，∴DK⊥AC．
因此平面BKD与AC垂直
∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC
∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角
故MNPQ是矩形．
解析
证明：连接AC，在△ABC中，
∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC
在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，
∴QP∥AC，∴MN∥QP
同理，连接BD可证MQ∥NP
∴MNPQ是平行四边
取AC的中点K，连BK，DK
∵AB=BC，∴BK⊥AC，
∵AD=DC，∴DK⊥AC．
因此平面BKD与AC垂直
∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC
∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角
故MNPQ是矩形．
正确答案
正三棱台ABC-A1B1C1中，高OO1=3，底面边长为A1B1=2，AB=4，
∴OA=
O1A1=
∴棱台的侧棱长为
AA1=
又OE=
O1E1=
∴该棱台的斜高为
EE1=
解析
正三棱台ABC-A1B1C1中，高OO1=3，底面边长为A1B1=2，AB=4，
∴OA=
O1A1=
∴棱台的侧棱长为
AA1=
又OE=
O1E1=
∴该棱台的斜高为
EE1=
已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面积之和，求棱台的高．
正确答案
解：如图所示，
在正三棱台ABC-A1B1C1中，
两底面边长分别为AB=30cm，A1B1=20cm，
∴侧面积为S侧=3×
两底面积之和为S底=
∵S侧=S底，
∴
解得DD1=
∴
∴OO1=
即棱台的高为4
解析
解：如图所示，
在正三棱台ABC-A1B1C1中，
两底面边长分别为AB=30cm，A1B1=20cm，
∴侧面积为S侧=3×
两底面积之和为S底=
∵S侧=S底，
∴
解得DD1=
∴
∴OO1=
即棱台的高为4
在四面体PABC中，有下列命题，其中正确命题的个数（ ）
①若PABC为正三棱锥，则相邻两侧面所成二面角的取值范围是（
②若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则
③若PABC为正四面体，点E在棱PA上，点F在棱BC上，使得
④若它的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
正确答案
解析
解：对于①，如图所示，
过点A作AD⊥PB于点D，连接DC，
∴△PAB≌△PCB，∴CD⊥PB，
∴∠ADC为侧面PAB与侧面PCB的平面角，
设AB=a，AD=b，则b＜a，
在△ACD中，由余弦定理得，cos∠ADC=
所以∠ADC＞
对于②，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，
∴过点P作PD⊥BC与D，
则PD=
∴h2=
对于③，如图所示，
则
∴∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，
取AC的中点M，连接PM，BM，∵PABC是正四面体，∴AC⊥PM，AC⊥BM，
∵PM∩BM=M，∴AC⊥平面PBM
∵PB⊂平面PBM
∴AC⊥PB，∴∠EGF=90°
∴f（λ）=αλ+βλ=∠GEF+∠GFE=90°，为定值，③正确；
对于④，∵
∴PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径，
∴4=PA2+PB2+PC2，
由基本不等式得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，
即4=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC，
∴三棱锥P-ABC的侧面积S=
即三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为2，∴④错误．
综上，以上正确的命题是①②③．
故选：B．
在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为______．
正确答案
解析
易得AE=
EF是AB、CD的公垂线，
相对两条棱间的距离为：
故答案为：
三棱锥的体积为V，过棱锥的高的三等分点的两个平行于底面的截面将棱锥分成三部分的体积比为______．
正确答案
1：7：19
解析
解：由已知中从顶点起将三棱锥的高三等分，过两个分点分别作平行于底面的截面，
则以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体，
高的比是相似比为1：2：3，
根据相似的性质三个锥体的体积的相似比为：13：23：33=1：8：27，
则分成三部分的体积比为V1：V2：V3=1：（8-1）：（27-8）=1：7：19．
故答案为：1：7：19．
一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）
正确答案
解析
解：个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离
则平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行
且各个顶点在平移过程中形成的线相互平行
各边在平移过程形成的面均为平行四边形
故形成的几何体为棱柱
故选B
下面关于三棱锥P-ABC的五个命题中，正确的命题有 ______．①当△ABC为等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等时，三棱锥P-ABC为正三棱锥；②当△ABC为等边三角形，侧面都为等腰三角形时，三棱锥P-ABC为正三棱锥；③当△ABC为等边三角形，点A在侧面PBC上的射影是三角形PBC的垂心时，P-ABC为正三棱锥；④若三棱锥P-ABC各棱相等时，它的外接球半径和高的比为3：4：⑤当三棱锥P-ABC各棱长相等时，若动点M在侧面PAB内运动，且点M到面ABC的距离与点M到点P的距离相等，则M的轨迹为椭圆的一部分．
正确答案
①③④⑤
解析
解：①∵侧面与底面所成的二面角都相等，故三个侧面的侧高均相等，
则顶点在底面上的射影到底面三边的距离也相等，即为底面的内心，故①正确．
②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，
侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥． 故②错误
③当△ABC为等边三角形，点A在侧面PBC上的射影是三角形PBC的垂心时，P-ABC为正三棱锥，故③正确
④若三棱锥P-ABC各棱相等时，它的外接球半径和高的比为3：4，故④正确
⑤当三棱锥P-ABC各棱长相等时，若动点M在侧面PAB内运动，
且点M到面ABC的距离与点M到点P的距离相等，
则M到P的距离与到BC的距离之比为定值，而且介于0到1之间，由椭圆的定义，故⑤正确
故答案为：①③④⑤
已知正四面体的棱长为4cm，求由正四面体的中截面所截出的正三棱台的斜高、高、上、下底面的面积（注：中截面特指经过高的中点且平行于底面的几何体的截面）．
正确答案
解：如图所示，
如图所示，点O，O1分别为正△ABC，正△A1B1C1的中心，点D，D1分别为BC，B1C1的中点．过点D1作D1E⊥AD，垂足为E点．
∵正四面体的棱长为4cm，
∴斜高D1D=
∴高O1O=
S△ABC=
解析
解：如图所示，
如图所示，点O，O1分别为正△ABC，正△A1B1C1的中心，点D，D1分别为BC，B1C1的中点．过点D1作D1E⊥AD，垂足为E点．
∵正四面体的棱长为4cm，
∴斜高D1D=
∴高O1O=
S△ABC=
（2015春•海南校级期中）一个棱柱至少有______个面；面数最少的一个棱锥有______个顶点；顶点最少的一个棱台有______条侧棱．
正确答案
5
4
3
解析
解：面最少的三棱柱是三棱柱，
它有五个面；
面数最少的棱锥是三棱椎，
它有4个顶点；
顶点最少的一个棱台是三棱台，
它有三条侧棱．
故答案为：5，4，3．
A
B
C2
D
正确答案
解析
AE=
故选 B．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）求三棱椎F-PAB的高；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点G，使得FG与平面PDC所成角的正弦值为
正确答案
解：（Ⅰ）证明：四棱椎P-ABCD中，底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又PD∩BD=D，
PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
又DE⊂平面PBD，
∴AC⊥DE；
（Ⅱ）∵V三棱锥F-PAB=V三棱锥P-ABF，
∴
∴h=
∴三棱椎F-PAB的高为
（Ⅲ）设在线段PC上存在一点G，使FG与平面PDC所成角的正弦值为
如图所示；
则过点F作FH⊥DC于H，连接GH，
∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面ABCD；
又平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴FH⊥平面PCD，
∴∠FGH是直线GF与平面PCD所成的角；
又GH⊂平面PCD，∴HF⊥GH；
∵FC=
∴HF=FCsin
HC=FCcos
∵sin∠FGH=
∴FG=3HF=3×2
∴HG=
∴点G不在线段PC上．
解析
解：（Ⅰ）证明：四棱椎P-ABCD中，底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又PD∩BD=D，
PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
又DE⊂平面PBD，
∴AC⊥DE；
（Ⅱ）∵V三棱锥F-PAB=V三棱锥P-ABF，
∴
∴h=
∴三棱椎F-PAB的高为
（Ⅲ）设在线段PC上存在一点G，使FG与平面PDC所成角的正弦值为
如图所示；
则过点F作FH⊥DC于H，连接GH，
∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面ABCD；
又平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴FH⊥平面PCD，
∴∠FGH是直线GF与平面PCD所成的角；
又GH⊂平面PCD，∴HF⊥GH；
∵FC=
∴HF=FCsin
HC=FCcos
∵sin∠FGH=
∴FG=3HF=3×2
∴HG=
∴点G不在线段PC上．
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