函数与方程_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.设函数

①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。

正确答案

2,a<-1

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.

22.求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；

23.已知关于的方程在内有两个不同的解．

（1）求实数m的取值范围；

（2）证明：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），

解析

（1）将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为

考查方向

1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．

解题思路

有函数的图象变化规律可得到函数的本来面貌，从而求得对称轴方程。

易错点

三角函数变换过程中参数的变换掌握不好，计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）（1）；（2）详见解析．

解析

（2）1）

（其中）

依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.

2）因为是方程在区间内有两个不同的解，

所以，.

当时，

当时,

所以

考查方向

1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．

解题思路

结合函数图象，化简三角函数，然后建立不等关系，求出M的取值范围

易错点

计算能力弱，三角函数的图象变换和性质掌握不好，不会利用辅助角公式和诱导公式。

1

题型：简答题

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简答题 · 4 分

7. 方程在区间上的解为________________

正确答案

解析

，即

∴

知识点

函数性质的综合应用函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）

A（0，]

B[，]

C[，]{}

D[，）{}

正确答案

C

解析

由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.

考查方向

本题主要考查了函数的单调性、图像、函数的零点等知识点，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

根据函数的单调性先求出，再由程恰好有两个不相等的实数解求出，再检验时是否符合题意。

易错点

忽略时符合题意导致出错。

教师点评

函数性质综合应用

知识点

函数单调性的性质函数零点的判断和求解二次函数的零点问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由得，

所以，

即

,所以恰有4个零点等价于方程

有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.

考查方向

1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.

解题思路

数形结合法来解答。

易错点

不知道怎么做。

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.若函数有两个零点，则实数b的取值范围是。

正确答案

（-2，+∞）

考查方向

本题主要考察函数与方程的知识，意在考察考生的数形结合能力和转化与划归的能力。

易错点

1.不注意指数函数的有界性导致出错；

知识点

函数零点的判断和求解二次函数的零点问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数a的

取值范围是___________

正确答案

解析

∵，∴，设切点为，∴切线方程为，

∴，与相同，∴，，∴，∴.

当直线与平行时，直线为，

当时，，

当时，，所以与在，上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，

考查方向

本题主要考查了函数与方程的知识，运用导数解决函数问题的能力，以及数形结合思想的应用。

解题思路

本题考查运用导数解决函数的能力，解题步骤如下：先求导，找函数的切线方程，再利用零点的判定方法，找到a的取值范围。

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

函数的图象与图象变化函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数，其中.

27. 讨论的单调性；

28. 设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；

29. 若关于的方程有两个正实根，求证：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.

解析

（I）解：由=，可得==，其中，且.

下面分两种情况讨论：

（1）当为奇数时.

令=0，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

-

+

-

所以，在，上单调递减，在内单调递增。（2）当为偶数时.

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减.

所以，在上单调递增，在上单调递减.

考查方向

1.导数的运算；

解题思路

利用导数的运算、导数的几何意义解答。

易错点

不会分类讨论。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II)见解析；

解析

（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.

由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.

考查方向

导数的几何意义；

解题思路

利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.

易错点

不会利用导数的几何意义来解答。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(III)见解析.

解析

（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.

类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.

设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.

由此可得.

因为，所以，故.

所以，.

考查方向

利用导数研究函数性质、证明不等式.

解题思路

分类讨论思想、函数思想和划归思想，综合分析问题和解决问题的能力。

易错点

难度大做不出来。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．已知为R上的连续可导函数，且，则函数
的零点个数为___________．

正确答案

0

解析

考查方向

本题主要考察导数与函数单调性的关系以及零点的求法。

解题思路

易错点

无法从条件中捕捉到有效信息，向结论靠拢。

知识点

函数零点的判断和求解导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

14.已知是定义在上的奇函数，

当时，，

若直线与函数的图象恰有7个不同的公共点，

则实数的取值范围为_________________.

正确答案

（，）

解析

解法一、由题意可得函数在区间段的解析式为

，

绘出函数的草图，

因为函数是定义在上的奇函数，由图象的对称性，原命题可以只考虑图象在第一象限内恰有三个不同的公共点；

图象可知，只有直线与函数在区间段内的图象相交，而与函数在区间段内的图象没有公共点时满足题设条件。

设直线与函数在区间段内相切的切点坐标为，由导数的几何意义，可得切线方程为，因为切线过原点，所以，化简为，解得，故舍去），所以切线的斜率为。同理可设设直线与函数在区间段内相切的切点坐标为，由导数的几何意义，可得切线方程为，因为切线过原点，所以，化简为，解得，故舍去），所以切线的斜率为。所以实数的取值范围为（，）

解法二：分析同上，原命题等价于（1）函数在区间内恰有两个不相等的根，解得（舍去）

（2）函数在区间内没有实数根，解得，（1）（2）取交集可得实数的取值范围为（，）

考查方向

本题主要考查了函数的奇偶性、分段函数以及曲线过某点的切线的斜率等知识，综合性较强，曲线的切线常与函数的零点等知识点交汇命题，综合考查，在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

本题考查了考生综合知识求解问题的能力，数形结合处理最好。解题步骤如下：

（1）首先求出函数在定义域内各区间段内的函数解析式；

（2）画出函数图象的草图；

（3）由对称性，可以只考虑图象在第一象限内恰有三个不同的公共点；

（4）分析图象可知，直线与函数在区间段内的图象相交，而与函数在区间段内的图象没有公共点。

（5）由导数求切线的斜率得解。

当然，本题也可以利用二次函数的判别式法来处理，但是此法对此类问题并不通用，而且因为分段函数变量的取值有范围限制，本题得解显得容易，其他类似问题反而容易出错。

易错点

本题必须注意分段函数的范围，函数图像的对称性，忽视则会出现错误。

知识点

函数奇偶性的性质函数零点的判断和求解

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