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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知椭圆C:的离心率为,双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

双曲线x²-y²=1的渐近线方程为,代入可得,则,又由可得,则

于是。椭圆方程为,答案应选D。

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,已知平面内一动点到两个定点的距离之和为,线段的长为

(1)求动点的轨迹

(2)当时,过点作直线与轨迹交于两点,且点在线段的上方,线段的垂直平分线为

①求的面积的最大值;

②轨迹上是否存在除以外的两点关于直线对称,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)当时,轨迹是以为焦点的椭圆

时,轨迹是线段

时,轨迹不存在

(2)以线段的中点为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,

可得轨迹的方程为

①解法1:设表示点到线段的距离

要使的面积有最大值,只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时,

的最大值为

解法2:在椭圆中,设,记

在椭圆上,由椭圆的定义得:

中,由余弦定理得:

配方,得:

从而

根据椭圆的对称性,当最大时,最大

当点与椭圆的上顶点重合时,

最大值为

②结论:当时,显然存在除外的两点关于直线对称

下证当不垂直时,不存在除外的两点关于直线对称

证法1:假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于上,故        ①

在椭圆上,所以有

两式相减,得

将该式写为

并将直线的斜率和线段的中点,表示代入该表达式中,

     ②

①、②得,由(1)代入

的中点为点,而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点.

证法2:假设存在这样的两个不同的点

,故直线经过原点。

直线的斜率为,则假设不成立,

故此时椭圆上不存在两点(除了点、点外)关于直线对称

知识点

定义法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点,当直线经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为

(1)求该椭圆的离心率;

(2)设线段的中点为的中垂线与轴和轴分别交于两点,记△的面积为,△为原点)的面积为,求的取值范围。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)解:依题意,当直线经过椭圆的顶点时,其倾斜角为。    ………………1分

。                                            ………………2分

 代入

解得 。                                                   ………………3分

所以椭圆的离心率为 。                                  ………………4分

(2)解:由(1),椭圆的方程可设为。                     ………………5分

依题意,直线不能与轴垂直,故设直线的方程为,将其代入

,整理得 。         ………………7分

………………8分

因为

所以 。                        ………………9分

因为 △∽△

所以                ………………11分

。          ………………13分

所以的取值范围是。                                   ………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点。

(1)求椭圆的方程;

(2)直线与椭圆交于两点,且线段的垂直平分线经过点,求为原点)面积的最大值。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,

一内角为 的菱形的四个顶点,

所以,椭圆的方程为             …………………4分

(2)设因为的垂直平分线通过点, 显然直线有斜率,

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则

所以

因为

所以,当且仅当时,取得最大值为  ………………6分

当直线的斜率不为时,则设的方程为

所以,代入得到

,             即

方程有两个不同的解

           …………………9分

所以,又,化简得到    

代入,得到              …………………10分

又原点到直线的距离为

所以

化简得到         …………………12分

因为,所以当时,即时,取得最大值

综上,面积的最大值为                   …………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,已知点是椭圆=1上的动点,以为切点的切线与直线相交于点

(1)过点与垂直的直线为,求轴交点纵坐标的取值范围;

(2)在轴上是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。(注:参考定理:若点在椭圆上,则以为切点的椭圆的切线方程是:

正确答案

见解析。

解析

解:

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切。

(1)求椭圆C1的方程;

(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;

(3)设C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足,求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)由得2a2=3b2,又由直线l:y=x+2与圆x2+y2=b2相切,

,∴椭圆C1的方程为:

(2)由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1:x=﹣1为准线,

F2为焦点的抛物线,∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x,

(3)Q(0,0),设

,得,∵y1≠y2

∴化简得

(当且仅当y1=±4时等号成立),

又∵y22≥64,∴当y22=64,即y2=±8时

的取值范围是

知识点

椭圆的定义及标准方程直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(  )

A

B

C3

D5

正确答案

A

解析

抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)

∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合

∴4+b2=9

∴b2=5

∴双曲线的一条渐近线方程为,即

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆(a>b>0)的离心率为,且过点()。

(1)求椭圆E的方程;

(2)设直线l:y=kx+t 与圆(1<R<2)相切于点A,且l与椭圆E只有一个公共点B.

①求证:

②当R为何值时,取得最大值?并求出最大值。

正确答案

见解析

解析

(1) 椭圆E的方程为.

(2) ①因为直线与圆C: 相切于A, 得,

即    ①   又因为与椭圆E只有一个公共点B

    ,得 ,且此方程有唯一解.

   即.

②由①②,得   ② 设,由   得  ,由韦达定理,  ,∵点在椭圆上, ∴

,  在直角三角形OAB中, 当且仅当

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的右焦点为,短轴的端点分别为,且

.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)依题意不妨设,则.

,得.又因为

解得.

所以椭圆的方程为.  ……………4分

(2)依题直线的方程为.

.

,则.   …………6分

所以弦的中点为.  ……………7分

所以

.     ……………9分

直线的方程为

,得,则

所以.   …………11分

所以.……………12分

又因为,所以.

所以.

所以的取值范围是. ……………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

为平面直角坐标系中的点集,从中的任意一点轴、轴的垂线,垂足分别为,记点的横坐标的最大值与最小值之差为,点的纵坐标的最大值与最小值之差为.

是边长为1的正方形,给出下列三个结论:

1 的最大值为

2 的取值范围是

3 恒等于0.

其中所有正确结论的序号是(     )

A1

B23

C12

D123

正确答案

D

解析

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 圆锥曲线的综合问题

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