- 圆锥曲线的综合问题
- 共478题
已知椭圆的一个顶点为,焦点在
轴上,中心在原点,若右焦点到直线
的距离为3。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点
,当
时,求
的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)依题意可设椭圆方程为 ,则右焦点
,
由题设,解得
,
故所求椭圆的方程为。
设,P为弦MN的中点,
由 得
,
直线与椭圆相交,
,①
,从而
,
,又
,则:
,即
, ②
把②代入①得 ,解得
,
由②得,解得
。
综上求得的取值范围是
。
知识点
已知定点,直线
,点
为坐标平面上的动点,过点
作直线
的垂线,垂足为点
,且
,设动点
的轨迹为曲线
。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线
与曲线
有两个不同的交点
、
,求证:
;
(3)记与
的夹角为
(
为坐标原点,
、
为(2)中的两点),求
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)设点的坐标为
。 (1分)
由题意,可得,
,
,
,(3分)
由与
垂直,得
,即
(
)。 (6分)
因此,所求曲线的方程为
(
)。
(2)因为过点的直线
与曲线
有两个不同的交点
、
,所以
的斜率不为零,故设直线
的方程为
。 (7分)
于是、
的坐标
、
为方程组
的实数解。
消并整理得
, (8分)
于是进一步得
(10分)
又因为曲线(
)的准线为
,
所以,得证。 (12分)
(3)由(2)可知,,
。
于是,
(16分)可求得的取值范围为
。 (18分)
知识点
在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知曲线
上任意一点
(其中
)到定点
的距离比它到
轴的距离大1.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若过点的直线
与曲线
相交于不同的
两点,求
的值;
(3)若曲线上不同的两点
、
满足
求
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)依题意知,动点到定点
的距离等于
到直线
的距离,曲线
是
以原点为顶点,为焦点的抛物线………(2分)
∵
∴
∴ 曲线方程是
………(4分)
(2)当平行于
轴时,其方程为
,由
解得
、
此时 ………(6分)
当不平行于
轴时,设其斜率为
,
则由 得
设则有
,
………(8分)
∴
………(10分)
(3)设
∴ ………(12分)
∵
∴
∵,化简得
∴ ………(14分)
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是
………(16分)
知识点
已知平面内一动点到椭圆
的右焦点
的距离与到直线
的距离相等。
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点(
)作倾斜角为
的直线与曲线
相交于
,
两点,若点
始终在以线段
为直径的圆内,求实数
的取值范围;
(3)过点(
)作直线与曲线
相交于
,
两点,问:是否存在一条垂直于
轴的直线与以线段
为直径的圆始终相切?若存在,求出所有
的值;若不存在,请说明理由﹒
正确答案
见解析
解析
(1)易知椭圆的右焦点坐标为。
由抛物线的定义,知P点的轨迹是以为焦点,直线
为准线的抛物线。
所以,动点P的轨迹C的方程为。 ……………………………………4分
(2)由题意知,直线AB的方程为。
代入,得
。
设,则
。
因为点始终在以线段
为直径的圆内,
为钝角。
又,
,
,
。
即,
。
因此,
。
综上,实数的取值范围是
。
(3)设过点的直线方程为
,代入
,得
,设
,则
,
。
于是。
的中点坐标为
又
。
设存在直线满足条件,则
。
化简,得。
所以,对任意的
恒成立,
所以
解得,
。
所以,当时,存在直线
与以线段
为直径的圆始终相切,…………13分
知识点
在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为。
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)是圆
上一动点,点
满足
,以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,求点Q的轨迹的直角坐标方程。
正确答案
(1)(2)
解析
(1)设是圆
上任一点,过
作
于
点,则在
△
中,
,而
,
,
,所以
,即
为所求的圆
的极坐标方程. ( 5分)
(2)设,由于
,所以
代入⑴中方程得
,即
,
∴,
,
∴点的轨迹的直角坐标方程为
. (10分)
知识点
已知抛物线的焦点为
,抛物线上一点
的横坐标为
,过点
作抛物线
的切线
交
轴于点
,交
轴于点
,交直线
于点
,当
时,
。
(1)求证:为等腰三角形,并求抛物线
的方程;
(2)若位于
轴左侧的抛物线
上,过点
作抛物线
的切线
交直线
于点
,交直线
于点
,求
面积的最小值,并求取到最小值时的
值。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)设,则切线
的方程为
,
所以,
,
,所以
,
所以为等腰三角形,且
为
中点,所以
,
,
,得
,抛物线方程为
……………… 4分
(2)设,则
处的切线方程为
由,
同理,……………………………………………………6分
所以面积……① ……8分
设的方程为
,则
由,得
代入①得:
,使面积最小,则
得到…………② 令
,
②得,
,
所以当时
单调递减;当
单调递增,
所以当时,
取到最小值为
,此时
,
,
所以,即
。……………………………………………………12分
知识点
已知抛物线的极坐标方程为
,若斜率为
的直线经过抛物线
的焦点,与圆
相切,则
。
正确答案
解析
将化为普通方程即
,得
知识点
已知直线:
与双曲线:
有交点,则实数
的取值范围是
正确答案
解析
略
知识点
已知为椭圆
的左右焦点,点
为其上一点,且有
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线
与椭圆
交于
两点,过
与
平行的直线
与椭圆
交于
两点,求四边形
的面积
的最大值。
正确答案
(1)(2)6
解析
解析:(1)设椭圆的标准方程为
由已知得
,
……………………2分
又点在椭圆上,
椭圆的标准方程为
……………………4分
(2)由题意可知,四边形为平行四边形
=4
设直线的方程为
,且
由得
……………………6分
=
+
=
=
==
…………………………8分
令,则
=
=
,……… 10分
又在
上单调递增
的最大值为
所以的最大值为6. ………………………………12分
知识点
已知椭圆的左、右焦点分别为
,若以
为圆心,
为半径作圆
,过椭圆上一点
作此圆的切线,切点为
,且
的最小值不小于
。
(1)证明:椭圆上的点到的最短距离为
;
(2)求椭圆的离心率的取值范围;
(3)设椭圆的短半轴长为,圆
与
轴的右交点为
,过点
作斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点,若
,求直线
被圆
截得的弦长
的最大值。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)设椭圆上任一点的坐标为
,
点到右准线的距离为
,则由椭圆的第二定义知:
,
,又
,
当
时,
(4分)
(2)依题意设切线长
∴当且仅当取得最小值时
取得最小值,
,
(6分)
从而解得,故离心率
的取值范围是
(8分)
(3)依题意点的坐标为
,则直线的方程为
, 联立方程组
得,设
,则有
,
,代入直线方程得
,
,又
,
,
(11分)
,直线的方程为
,圆心
到直线
的距离
,由图象可知
,
,
,
,所以
(14分)
知识点
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