热门试卷

（1）由已知得到,且,所以椭圆的方程是;

（2）因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;

由,所以

,所以

,

当时等号成立,此时直线

由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.

设动圆的圆心为(,),半径为R.

(1)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.

(2)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为,

当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.

当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设,由于圆M相切得,解得.

当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.

当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,

综上,|AB|=或|AB|=.

（1）设椭圆方程为：（），

所以直线方程为：

∴到直线距离为

又，解得：，

故：椭圆方程为：.

（2） 当直线与轴重合时，，而，所以

若存在直线，使是、的等比中项，

则可设直线方程为：

代人椭圆的方程，得：即：

∴

记，，   ∴，

∵，即，∴

∴，解得：，符合，所以

故存在直线，使是、的等比中项，其方程为

，即：

（3） 椭圆的倍相似椭圆的方程为：

设、、、各点坐标依次为、、、

将代人椭圆方程，得：

∴     （*）

此时：，

将代人椭圆方程，得：

∴，

∴，可得线段、中点相同，所以

由，所以，可得：

∴（满足（*）式）。

故：动点的轨迹方程为.

（1）（法一）点在抛物线上， 。

设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，

由 得，

，

由，得，则直线方程为。

两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，

有，解得或（舍去）。

直线的方程为，抛物线的方程为。

（法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为。……2分

设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，，

，的最小值为，由，解得。

因此，直线的方程为，抛物线的方程为。

（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

由  得，

设点、的坐标分别为、，则，，

，，

.

由 得，，

，

。

因此，存在实数，使得成立，且。

(1)设动点，则(且)

所以曲线的方程为().

（2）法一：设，则直线的方程为，令，则得，直线的方程为，

令，则得，

∵ =

∴，∴

故

∵  ，∴，

∴，

∴，

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为

法二：设直线的斜率为，则由题可得直线的斜率为，

所以直线的方程为，令，则得，

直线的方程为，令，则得，

∴，

∴

故

∴直线与直线的斜率之积的取值范围为

（3）法一：由（2）得，，

则直线的方程为，直线的方程为，…12分

由，解得即

∴

∴  点在曲线上.

法二：由（2）得，

∴   ，

∴

∴  点在曲线上。

法三：由（2）得，，，

∴   ，

∴ 　∴  点在曲线上.

（1）由,,

根据椭圆定义知的轨迹为以为焦点的椭圆,

其长轴,焦距,短半轴,故的方程为.

（2）过点与X轴垂直的直线不与圆相切，故可设:,由直线与曲线

相切得,化简得

由,解得

联立,消去整理得,

直线被曲线截得的线段一端点为,设另一端点为,解方程可得,有

令,则,

考查函数的性质知在区间上是增函数,

所以时,取最大值,从而.

（1）①设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,

当=1时，由题意得，a=2c=2,,

所以椭圆的方程为.

②依题意知直线的斜率存在，设，由得，

，由直线与抛物线有两个交点，可知.

设，由韦达定理得，

则=            

因为的周长为，所以，          

解得，从而可得直线的方程为        

（2）假设存在满足条件的实数，由题意得，又设，设，对于抛物线M，有对于椭圆C，由得   

由解得：，所以，从而，因此，的边长分别为、、，

当时，使得的边长为连续的自然数.     

（1）解法1：设椭圆的方程为,

依题意:    解得:

∴ 椭圆的方程为.

解法2：设椭圆的方程为，

根据椭圆的定义得，即，

∵，  ∴.

∴ 椭圆的方程为.

(2)解法1：设点,，则，

，

∵三点共线,

∴.

∴,

化简得：.  ①

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②

同理，抛物线在点处的切线的方程为 .     ③

设点，由②③得：，

而，则 .

代入②得 ，

则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法2：设点,，，

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴ 。

∵点在切线上,   ∴.        ①

同理， .  ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程.

∵经过的直线是唯一的，

∴直线的方程为，

∵点在直线上，      ∴.

∴点的轨迹方程为.

若 ，则点在椭圆上，又在直线上，

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消去，得.

设,则.

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分

∵， ∴.

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.

由解得

∴.

∵,

∴点在椭圆上.

∴.

化简得.(*)

由,

可得方程(*)有两个不等的实数根.  ∴满足条件的点有两个.