热门试卷

（1）依题意得，解得a=1.

所以，

故双曲线C的方程为.

（2）设，则有 。

两式相减得： ，

由题意得，，，

所以，即.

故直线AB的方程为.

（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P. 因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.

下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可。

由得：A（-1，0），B（3，4）.

由（1）得直线CD方程：，

由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），

所以CD的中点M（-3，6）.

因为，，

，，

所以，

即 A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，为半径的圆上.

（1）当即时，轨迹是以、为焦点的椭圆

当时，轨迹是线段

当时，轨迹不存在

（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为

①解法1：设表示点到线段的距离

，

要使的面积有最大值，只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时，

的最大值为

解法2：在椭圆中，设，记

点在椭圆上，由椭圆的定义得：

在中，由余弦定理得：

配方，得：

从而

得

根据椭圆的对称性，当最大时，最大

当点与椭圆的上顶点重合时，

最大值为

②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称

下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称

证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于在上，故        ①

又在椭圆上，所以有

两式相减，得

将该式写为，

并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，

得     ②

①、②得，由（1）代入

得

即的中点为点，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点和.

证法2：假设存在这样的两个不同的点

，

则，故直线经过原点。

直线的斜率为，则假设不成立，

故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称

（1），

椭圆方程为，………………………………2分

准圆方程为，………………………………3分

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得。

因为直线与椭圆相切，

所以，解得，………………………………6分

所以方程为，………………………………7分

，，………………………………8分

（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则：，

当：时，与准圆交于点，

此时为（或），显然直线垂直；

同理可证当：时，直线垂直，………………………………10分

②当斜率存在时，设点，其中。

设经过点与椭圆相切的直线为，

所以由

得。

由化简整理得，

因为，所以有。

设的斜率分别为，因为与椭圆相切，

所以满足上述方程，

所以，即垂直，………………………………12分

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直。

所以线段为准圆的直径，，

所以线段的长为定值，………………………………14分

（1）由：知，……………………………………………1分

设，在上，因为，所以，

得，，………………………………………………………………… 3分

在上，且椭圆的半焦距，于是………………………5分

消去并整理得  ， 解得（不合题意，舍去）。

故椭圆的方程为。  ………………………………………………… 7分

（2）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，

因为，所以与的斜率相同，

故的斜率。

设的方程为，……………………………………………………… 8分

由  ………………………………………………………………… 9分

消去并化简得  ，…………………………………… 10分

设，，，.……………………11分

因为，所以。

 ，……………… 12分

所以，此时，

故所求直线的方程为，或。 …………………… 14分

（1）由条件可知，                                  …………2分

故所求椭圆方程为，                              …………4分

（2）设过点的直线方程为：，                  …………5分

由可得：        …………6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立。

设点，则

，                     …………8分

因为直线的方程为：，

直线的方程为：，                  ………9分

令，可得，，

所以点的坐标，                     ………10分

直线的斜率为

          …………12分

所以为定值，                                 …………13分

（1）圆C的圆心为C（-2，0），半径r=6，.

连结，由已知得，

所以.

根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C、A为焦点，长轴长等于的椭圆，

即a=3，c=2，，

所以，点Q的轨迹G的方程为.

（2）①设B、D的坐标分别为、，

则

两式相减，得，

当BD的中点M的坐标为（2，1）时，有，

所以，即.

故BD所在的直线方程为，即.

②证明：设，且，

由①可知,

又

所以（定值）.